MINT lernen

Knickfreie Übergänge

Gleiche Höhe, gleiche Richtung — und manchmal sogar gleiche Krümmung.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die zwei gestuften Tipps unter jeder Aufgabe.

A1
Begriffe-Memory
AFB I

Finde die sechs Paare aus Begriff und passender Bedeutung. Die Nahtstelle heißt jeweils x₀, links liegt das Stück g, rechts das Stück h.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Sprungfrei betrifft die Funktionswerte, knickfrei zusätzlich die ersten Ableitungen, ruckfrei zusätzlich die zweiten. Die Steigung einer Geraden steht vor dem x — der y-Achsenabschnitt spielt für den Anschluss der Richtung keine Rolle.
Ordne zuerst die drei Gleichungen: Wo steht nichts, ein Strich, zwei Striche?
Kein Strich: gleiche Höhe (sprungfrei). Ein Strich: gleiche Steigung. Zwei Striche: gleiche Krümmung. Eine Funktion vom Grad 3 hat vier Koeffizienten a, b, c, d.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen rund um Nahtstellen und Übergangsbögen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merksatz: Knickfrei = gleiche Höhe und gleiche Steigung an der Nahtstelle. Die Steigung kommt immer aus dem Nachbarstück — und der Bogen selbst gilt nur zwischen seinen Nahtstellen.
Zähle bei jeder Aussage nach: Was muss an einer Nahtstelle übereinstimmen?
Zwei Nahtstellen · (Punkt + Steigung) = 4 Bedingungen. Eine Gerade y = mx + n hat überall die Ableitung m.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

An einer Nahtstelle x₀ stoßen zwei Bahnstücke aneinander. Stimmen dort die überein, ist der Übergang . Stimmen zusätzlich die überein, ist er . Für Bahnstrecken verlangt man oft auch gleiche , also gleiche zweite Ableitungen — dann heißt der Übergang ruckfrei.

„Nullstellen“ spielen an einer Nahtstelle keine Rolle: Die Stücke müssen nicht auf der x-Achse zusammentreffen, sondern an derselben Stelle denselben Funktionswert haben.
Die Reihenfolge wird immer strenger: erst gleiche Höhe, dann gleiche Richtung, dann gleiche Krümmung.
f(x₀) → sprungfrei, f′(x₀) → knickfrei, f″(x₀) → ruckfrei.
A4
Sprung, Knick oder glatt?
AFB II

Links endet das Stück g, rechts beginnt das Stück h. Sortiere jede Beschreibung nach der Art des Übergangs.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1mit Sprung
2sprungfrei, aber mit Knick
3knickfrei
Erst die Höhe prüfen, dann die Steigung: Die Karte mit g′(1) = h′(1) = 0 sieht „glatt“ aus, hat aber einen Sprung — gleiche Steigungen helfen nichts, wenn die Stücke nicht zusammenhängen. Schon eine kleine Richtungsänderung (0 gegen 0,2) ist ein Knick.
Prüfe jede Karte in zwei Schritten: 1. Gleiche Höhe? 2. Gleiche Steigung?
Ist schon die Höhe verschieden → „mit Sprung“, egal wie die Steigungen sind. Gleiche Höhe, verschiedene Steigung → Knick. Beides gleich → knickfrei.
A5
Gerade tangential anschließen
AFB II

Eine Bahn verläuft für x ≤ 2 auf dem Graphen von g(x) = 0,5x². Ab x₀ = 2 soll sie geradlinig auf h(x) = mx + n weiterführen, und zwar knickfrei. Bestimme n.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
g(2) = 2 und g′(x) = x, also g′(2) = 2. Knickfrei heißt m = 2 und 2 · 2 + n = 2, also n = −2. Die Gerade ist genau die Tangente an g in (2 | 2). Häufiger Fehler: m = g(2) setzen — der Funktionswert ist aber keine Steigung.
Zwei Bedingungen: h(2) = g(2) und h′(2) = g′(2).
g(2) = 0,5 · 4 = 2, g′(x) = x ⇒ m = 2. Dann 2 · 2 + n = 2 nach n auflösen.
A6
Das Trassierungs-Rezept
AFB II

So findet man einen Übergangsbogen zwischen zwei gegebenen Bahnstücken. Bringe die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Skizze anfertigen und die Nahtstellen markieren
2An jeder Nahtstelle Punkt und Steigung des Nachbarstücks bestimmen
3Bedingungen zählen und passenden Ansatz wählen, z. B. f(x) = ax³ + bx² + cx + d
4Bedingungen als Gleichungen I bis IV notieren und das LGS lösen
5Probe an beiden Nahtstellen und Gültigkeitsbereich angeben
Am häufigsten verrutscht Schritt 2: Wer die Steigung der Nachbarstücke nicht vorab bestimmt, schreibt in Gleichung II oder IV gern den Funktionswert statt der Ableitung. Die Anzahl der Bedingungen bestimmt erst danach den Grad des Ansatzes.
Was brauchst du, bevor du überhaupt einen Ansatz wählen kannst?
Erst die Informationen sammeln (Skizze, Punkte, Steigungen), dann zählen und den Ansatz wählen, dann rechnen, zuletzt kontrollieren.
A7
Vom Waagerechten in die Schräge
AFB II

Eine Bahn verläuft für x ≤ 0 waagerecht auf der Geraden y = 2, ab x = 2 auf der Geraden h(x) = x − 1. Ein Bogen f(x) = ax³ + bx² + cx + d soll beide Stücke sprung- und knickfrei verbinden.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Aus f(0) = 2 folgt d = ?
  2. Aus f′(0) = 0 folgt c = ?
  3. Aus f(2) = 1 und f′(2) = 1 folgt a = ?
  4. Und b = ?
  5. Kontrolle: Wie hoch liegt der Bogen bei x = 1?
Mit d = 2 und c = 0 bleiben III: 8a + 4b = −1 und IV: 12a + 4b = 1. IV − III ergibt 4a = 2, also a = 0,5 und b = −1,25. f(x) = 0,5x³ − 1,25x² + 2 fällt von 2 auf 1 und schwenkt dabei in die Richtung der Geraden ein.
An der linken Nahtstelle: Höhe 2 und Steigung 0 (waagerecht). An der rechten: h(2) = 1 und h′(2) = 1.
f(2) = 8a + 4b + 2 = 1 und f′(2) = 12a + 4b = 1. Subtrahiere die beiden Gleichungen, dann fällt b heraus.
A8
Fehlersuche im Schulheft
AFB III

Aufgabe: Eine Bahn läuft für x ≤ 2 auf p(x) = −0,5x² + 2x. Ein Bogen f soll bei x = 2 knickfrei an p und bei x = 6 knickfrei an die Gerade k(x) = 0,5x − 1 anschließen. Drei der sechs Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
In Klausuren am häufigsten: Zeile 2 — beim Bestimmen der Anschlusssteigung wird der Term des Nachbarstücks statt seiner Ableitung ausgewertet. Mit dem Rezept „erst p′ bilden, dann einsetzen“ passiert das nicht.
Bilde selbst p′(x) und k′(x) und vergleiche mit den Zeilen 2 und 4.
p′(x) = −x + 2, k′(x) = 0,5. Zu Zeile 6: Das LGS liefert f(x) = (1/32)x³ − (5/16)x² + (7/8)x + 5/4 — schau dir das Vorzeichen von a an.
A9
Wie viele Bedingungen, welcher Ansatz?
AFB III
Interleaving-Mix

Verbinde jede Situation mit dem passenden Ansatz. Hier mischen sich Trassierung, Symmetrie und das Zählen von Bedingungen aus den früheren Unterkapiteln.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Faustregel: Anzahl der Bedingungen = Anzahl der Koeffizienten = Grad + 1. Die Ausnahme ist die Symmetrie: Beim achsensymmetrischen Hügel fallen die ungeraden Potenzen weg, und die Bedingungen bei x = −3 folgen automatisch aus denen bei x = 3. Deshalb reichen drei Bedingungen für einen Ansatz vom Grad 4.
Zähle pro Nahtstelle: sprungfrei = 1 Bedingung, knickfrei = 2, ruckfrei = 3.
Der Grad ist eins kleiner als die Zahl der Bedingungen. Beim symmetrischen Hügel: f(0) = Höhe, f(3) = 0, f′(3) = 0 — die Gegenseite gilt dann von selbst.
A10
Sprungfrei, knickfrei, ruckfrei?
AFB III
Trickaufgabe

Links g, rechts h, Nahtstelle x₀. Kreuze an, welche Eigenschaften der Übergang hat. Dabei gilt: knickfrei schließt sprungfrei ein, ruckfrei schließt knickfrei ein.

Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein, aber auch gar keins. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
Übergangsprungfreiknickfreiruckfrei
g(x) = x³ + x
h(x) = x
x₀ = 0
g(x) = x²
h(x) = −x² + 4x − 2
x₀ = 1
g(x) = x²
h(x) = x
x₀ = 1
g(x) = 0,5x²
h(x) = 2x − 1
x₀ = 2
g(x) = x⁴
h(x) = 0
x₀ = 0
Zwei Fallen: In Zeile 4 stimmen die Steigungen (2 und 2) überein, aber g(2) = 2 und h(2) = 3 — wegen des Sprungs ist der Übergang weder knick- noch ruckfrei, die Zeile bleibt leer. Und eine Kurve kann ruckfrei in eine Gerade übergehen, wenn dort ihre zweite Ableitung null ist: x³ + x bei 0, x⁴ bei 0.
Werte für jede Zeile g, h, g′, h′, g″ und h″ an der Stelle x₀ aus und vergleiche von oben nach unten.
Beispiel Zeile 1: g(0) = 0 = h(0); g′(x) = 3x² + 1, g′(0) = 1 = h′(0); g″(x) = 6x, g″(0) = 0 = h″(0). Bricht eine Stufe, sind auch alle folgenden nicht erfüllt.