Sprungfrei und knickfrei
Eine Trasse setzt sich aus Stücken zusammen: links der Graph von \(g\), rechts der von \(h\). Entscheidend ist die Nahtstelle \(x_0\).
- Sprungfrei:gleiche Funktionswerte, \(g(x_0)=h(x_0)\) — die Stücke hängen zusammen.
- Knickfrei:zusätzlich gleiche Steigung, \(g'(x_0)=h'(x_0)\) — die Fahrtrichtung springt nicht.
- Knick:Die Fahrtrichtung ändert sich schlagartig — ein Fahrzeug müsste an dieser Stelle ruckartig lenken.
- Ruckfrei:Für Bahnstrecken fordert man oft noch gleiche Krümmung, \(g''(x_0)=h''(x_0)\).
Knickfreier Übergang bei \(x_0\): \(g(x_0)=h(x_0)\) und \(g'(x_0)=h'(x_0)\)
Wähle ein Übergangsstück zwischen den beiden geraden Straßen und lass das Auto fahren (▶) — oder ziehe es entlang der Straße (Pfeiltasten, mit Umschalt feiner). Unten wird die Fahrtrichtung als Steigung mitgeschrieben.
Halte fest: An einem Knick springt die Steigungskurve — die Fahrtrichtung ändert sich schlagartig. Nur das Übergangsstück vom Grad 3 schließt an beiden Nahtstellen mit gleicher Steigung an.
Ein Übergangsbogen
Zwei parallele Straßen sollen knickfrei verbunden werden (1 LE = 100 m): links die \(x\)-Achse bis \({A(0\mid 0)}\), rechts die Gerade \(y=1\) ab \({B(2\mid 1)}\).
- Bedingungen:je Ende Punkt und Steigung → vier Bedingungen → Grad 3.
- Ansatz:\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).
Anschluss an die linke Straße im Punkt \(A\).
Die \(x\)-Achse hat die Steigung \(0\).
Anschluss im Punkt \(B\), schon mit \(c=d=0\).
Die Gerade \(y=1\) hat ebenfalls die Steigung \(0\).
\(b\) fällt heraus.
\(12\cdot(-0{,}25)=-3\).
gilt für \(0\le x\le 2\); Probe: \(f(2)=-2+3=1\), \(f'(2)=-3+3=0\).
Allgemeine Hinweise
Skizze mit Nahtstellen
Erst skizzieren und an jede Nahtstelle Punkt und Steigung schreiben — daraus ergeben sich die Bedingungen fast von selbst.
Steigung der Nachbarstücke
Die Steigung am Rand kommt aus dem angrenzenden Stück: Gerade → ihre Steigung \(m\), Kurve → deren Ableitung an der Nahtstelle.
Nur im Intervall gültig
Der Übergangsbogen beschreibt die Trasse nur zwischen den Nahtstellen. Außerhalb gelten die angrenzenden Stücke.