Der Abrollweg
AFB I–IIAuf einem Flughafen verläuft die Mittellinie der Landebahn entlang der \(x\)-Achse (1 LE = 100 m). Nach der Landung sollen Flugzeuge die Landebahn im Punkt \(A(0\mid 0)\) verlassen und über einen Abrollweg auf den geraden Rollweg \(g(x)=0{,}75x-0{,}5\) gelangen, den sie im Punkt \(B(2\mid 1)\) erreichen.
Die Mittellinie des Abrollwegs zwischen \(A\) und \(B\) soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion \(f\) beschrieben werden, die an beiden Punkten ohne Sprung und ohne Knick anschließt.
- Geben Sie die Bedingungen an, die \(f\) an den Nahtstellen erfüllen muss.
- Stellen Sie mit einem Ansatz vom Grad 3 einen Funktionsterm für \(f\) auf.
- Bestätigen Sie, dass die Mittellinie des Abrollwegs 100 m hinter \(A\) rund 31 m neben der Mittellinie der Landebahn liegt.
- Flugzeuge sollen nicht stärker einlenken als nötig. Überprüfen Sie, ob der Abrollweg zwischen \(A\) und \(B\) irgendwo steiler verläuft als der Rollweg \(g\).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
I: \(f(0)=0\) (sprungfrei bei A), II: \(f'(0)=0\) (knickfrei, Landebahn waagerecht), III: \(f(2)=g(2)=1\) (sprungfrei bei B), IV: \(f'(2)=g'(2)=0{,}75\) (knickfrei bei B).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Aus I und II: \(d=0\), \(c=0\). III: \(8a+4b=1\); IV: \(12a+4b=0{,}75\).
IV − III: \(4a=-0{,}25\Rightarrow a=-0{,}0625\); in III: \(-0{,}5+4b=1\Rightarrow b=0{,}375\).
\(f(x)=-0{,}0625x^3+0{,}375x^2\) für \(0\le x\le2\). Probe: \(f(2)=-0{,}5+1{,}5=1\), \(f'(2)=-0{,}75+1{,}5=0{,}75\) ✓.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f(1)=-0{,}0625+0{,}375=0{,}3125\) LE \(=31{,}25\) m \(\approx31\) m. ✓
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(f'(x)=-0{,}1875x^2+0{,}75x\), \(f''(x)=-0{,}375x+0{,}75\ge0\) für \(0\le x\le2\). Also wächst \(f'\) auf dem ganzen Abrollweg und erreicht sein Maximum erst am Rand: \(f'(2)=0{,}75=g'\).
Der Abrollweg ist nirgends steiler als \(g\): Der Richtungswinkel wächst gleichmäßig von \(0^\circ\) auf \(\tan^{-1}(0{,}75)\approx36{,}9^\circ\), ohne über das Ziel hinauszuschießen.
Die neue Straßenbahntrasse
AFB II–IIIEine Straßenbahn fährt zunächst auf einem geraden Gleis entlang der Geraden \(y=-1\) (für \(x\le-2\)) und danach durch einen vorhandenen Gleisbogen, der für \(-2\le x\le0\) durch \(k(x)=0{,}25x^2+x\) beschrieben wird (1 LE = 20 m).
Ab \(x=2\) soll ein neues, gerades Gleis entlang der Geraden \(h(x)=0{,}5x+1\) zu einer Haltestelle führen. Die Lücke zwischen \(x=0\) und \(x=2\) soll ein Übergangsbogen schließen. Für den Fahrkomfort gilt: Ein Knick ist unzulässig; ein Sprung in der Krümmung (zweite Ableitung) ist erlaubt, wird aber als spürbarer Ruck wahrgenommen und sollte möglichst vermieden werden.
- Zeigen Sie, dass \(p(x)=-0{,}125x^3+0{,}25x^2+x\) die Lücke sprung- und knickfrei schließt.
- Vergleichen Sie die Krümmung des Bogens \(p\) an den beiden Nahtstellen mit der Krümmung der angrenzenden Gleisstücke.
- Eine Planerin schlägt vor, den Bogen mit einem Ansatz vom Grad 4 an beiden Nahtstellen ruckfrei zu machen. Nehmen Sie Stellung zu diesem Vorschlag.
- Entwickeln Sie einen Übergangsbogen \(q\), der an beiden Nahtstellen sprung-, knick- und ruckfrei anschließt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(p'(x)=-0{,}375x^2+0{,}5x+1\), \(k'(x)=0{,}5x+1\), \(h'(x)=0{,}5\).
\(x=0\): \(p(0)=0=k(0)\) und \(p'(0)=1=k'(0)\).
\(x=2\): \(p(2)=-1+1+2=2=h(2)\) und \(p'(2)=-1{,}5+1+1=0{,}5=h'(2)\).
Alle vier Bedingungen sind erfüllt, also schließt \(p\) die Lücke sprung- und knickfrei.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(p''(x)=-0{,}75x+0{,}5\), \(k''(x)=0{,}5\), \(h''(x)=0\).
Bei \(x=0\): \(p''(0)=0{,}5=k''(0)\) — gleiche Krümmung, der Übergang ist dort sogar ruckfrei. Bei \(x=2\): \(p''(2)=-1\neq0=h''(2)\) — die Krümmung springt, beim Einfahren in die Gerade entsteht ein Ruck.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
„An beiden Nahtstellen ruckfrei“ bedeutet sechs Bedingungen; ein Ansatz \(r(x)=ex^4+ax^3+bx^2+cx+d\) hat nur fünf Koeffizienten. Bei \(x=0\) folgt \(d=0\), \(c=1\), \(b=0{,}25\). Bei \(x=2\) bleiben:
\(16e+8a=-1\), \(32e+12a=-1{,}5\), \(48e+12a=-0{,}5\).
Aus den letzten beiden: \(16e=1\Rightarrow e=0{,}0625\), \(a=-\tfrac{7}{24}\); eingesetzt in die erste: \(1-\tfrac73=-\tfrac43\neq-1\). Das LGS hat keine Lösung.
Stellungnahme: Der Vorschlag ist nicht umsetzbar — mit Grad 4 lassen sich die sechs Bedingungen hier nicht gleichzeitig erfüllen. Dass \(p\) bei \(x=0\) „zufällig“ schon ruckfrei ist, spart keine Bedingung ein. Man braucht einen Ansatz vom Grad 5.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Ansatz \(q(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f\) mit sechs Bedingungen: \(q(0)=0\), \(q'(0)=1\), \(q''(0)=0{,}5\), \(q(2)=2\), \(q'(2)=0{,}5\), \(q''(2)=0\).
Bei \(x=0\): \(f=0\), \(e=1\), \(d=0{,}25\). Bei \(x=2\):
I: \(32a+16b+8c=-1\)
II: \(80a+32b+12c=-1{,}5\)
III: \(160a+48b+12c=-0{,}5\)
GTR/CAS: \(a=0{,}0625\), \(b=-0{,}25\), \(c=0{,}125\).
\(q(x)=0{,}0625x^5-0{,}25x^4+0{,}125x^3+0{,}25x^2+x\) für \(0\le x\le2\).
Einordnung: \(q(x)-p(x)=\tfrac1{16}x^3(x-2)^2\ge0\); der neue Bogen weicht höchstens um etwa \(0{,}07\) LE \(\approx1{,}4\) m (bei \(x=1{,}2\)) vom Bogen \(p\) ab, passt also in dieselbe Trasse.