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Übungsaufgaben
Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die zwei gestuften Tipps unter jeder Aufgabe. Eine Mix-Aufgabe holt älteres Wissen zurück, und eine Trickaufgabe stellt dir eine Falle.
A1
Lokal oder global?
AFB IWelche Aussagen beschreiben eine lokale Eigenschaft — also eine, die zu einer bestimmten Stelle x₀ gehört?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Symmetrie, Grad und das Verhalten für x → ±∞ betreffen den ganzen Graphen — man liest sie am Funktionsterm ab, nicht an einem kleinen Kurvenstück. Ein Tiefpunkt, der y-Achsenabschnitt oder eine Tangentensteigung gehören dagegen zu genau einer Stelle.
Ansatz: Frage dich bei jeder Aussage: Gehört eine bestimmte Stelle x₀ dazu?
Weg: Drei Aussagen nennen eine Stelle (x = −2, x = 0, x = 1). Die anderen drei gelten für den ganzen Graphen.
A2
Fachwörter am Graphen
AFB ISetze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Wechselt der Graph von steigend zu fallend, liegt ein vor. Die Tangente verläuft dort . Wechselt der Graph von einer Links- in eine Rechtskurve, hat er einen . Ist die Tangente an einer solchen Stelle zusätzlich waagerecht, spricht man von einem . Für x → ±∞ entscheiden nur der höchste Exponent und sein Vorfaktor, der .
„Tiefpunkt“ bleibt übrig: Dort wechselt der Graph von fallend zu steigend — der Satz beschreibt aber den Wechsel von steigend zu fallend. Merke: Extrempunkte gehören zum Richtungswechsel, Wendepunkte zum Krümmungswechsel.
Ansatz: Lies die Sätze der Reihe nach: Richtungswechsel, Tangente, Krümmungswechsel, Sonderfall, Verhalten im Unendlichen.
Weg: Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt Sattelpunkt. Der Vorfaktor der höchsten Potenz heißt Leitkoeffizient.
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Behauptungen über globale Eigenschaften ganzrationaler Funktionen.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Das Globalverhalten hängt nur am Summanden anxⁿ: Gerader Grad heißt „beide Enden gleich“, ungerader Grad „Enden entgegengesetzt“. Für Symmetrie zählen alle Exponenten — auch die unsichtbare 0 der Konstanten.
Ansatz: Für x → ±∞ zählt nur der Summand mit dem höchsten Exponenten. Für Symmetrie schreibe jede Konstante als c · x⁰.
Weg: Merke-Zahlen für Grad n: höchstens n Nullstellen, n − 1 Extremstellen, n − 2 Wendestellen.
A4
Symmetrie am Term erkennen
AFB IISortiere die Funktionen nach der Symmetrie ihres Graphen — nur mit einem Blick auf die Exponenten.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1achsensymmetrisch zur y-Achse
2punktsymmetrisch zum Ursprung
3keine der beiden
Nur gerade Exponenten (0 inklusive) → achsensymmetrisch; nur ungerade → punktsymmetrisch; beides gemischt → keine dieser Symmetrien. Die Falle ist x³ + 1: Die Konstante verschiebt den Graphen nach oben, weg vom Ursprung.
Ansatz: Schreibe zu jedem Summanden seinen Exponenten auf — eine Konstante hat den Exponenten 0, ein einzelnes x den Exponenten 1.
Weg: Nur gerade → Korb 1, nur ungerade → Korb 2, gemischt → Korb 3. Zwei Karten sind gemischt.
A5
Eigenschaften-Raster
AFB IIKreuze für jede Funktion alle Eigenschaften an, die ihr Graph hat.
Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze — es können mehrere pro Zeile sein. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
| Funktion | achsensymmetrisch zur y-Achse | punktsymmetrisch zum Ursprung | f(x) → +∞ für x → +∞ | mindestens eine Nullstelle |
|---|---|---|---|---|
| f₁(x) = −x⁴ + 3x² | ||||
| f₂(x) = 2x³ − x | ||||
| f₃(x) = x⁴ + 1 | ||||
| f₄(x) = −0,5x⁵ + x² | ||||
| f₅(x) = x² − 2x + 5 |
f₃ und f₅ haben keine Nullstelle: x⁴ + 1 ist immer mindestens 1, und x² − 2x + 5 = (x − 1)² + 4 ist immer mindestens 4. f₁ und f₄ haben die Nullstelle 0, weil jeder Summand ein x enthält. Trick: Fehlt die Konstante, ist x = 0 immer eine Nullstelle.
Ansatz: Spalte für Spalte: erst die Exponenten (Symmetrie), dann Grad und Vorzeichen des Leitkoeffizienten (x → +∞), zuletzt f(x) = 0.
Weg: Ohne Konstante ist f(0) = 0. Für x² − 2x + 5 hilft die quadratische Ergänzung: (x − 1)² + 4.
A6
Spaziergang auf dem Graphen
AFB IIDu läufst auf dem Graphen von f(x) = −x³ + 3x + 2 von links nach rechts. Bringe deine Beobachtungen in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Der Graph kommt von links oben.
2Tiefpunkt, der genau auf der x-Achse liegt
3Wendepunkt, der zugleich auf der y-Achse liegt
4Hochpunkt
5Nullstelle, an der der Graph die x-Achse schneidet
Der Tiefpunkt T(−1|0) liegt auf der x-Achse — dort berührt der Graph die Achse (doppelte Nullstelle, denn f(x) = −(x + 1)²(x − 2)). Danach W(0|2) auf der y-Achse, H(1|4) und zuletzt die einfache Nullstelle 2. Häufig verrutscht der Wendepunkt: Er liegt bei Grad 3 immer genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt.
Ansatz: Leite ab: f′(x) = −3x² + 3 und f″(x) = −6x. Wo sind f′ bzw. f″ gleich null?
Weg: Extremstellen bei x = −1 und x = 1, Wendestelle bei x = 0. Setze ein: f(−1) = 0, f(0) = 2, f(1) = 4. Wegen a = −1 < 0 kommt der Graph von links oben.
A7
Fehlersuche im Schulheft
AFB IILina beschreibt den Graphen von g(x) = −x⁴ + 4x³. Drei Sätze sind falsch — finde sie.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
In Klausuren am häufigsten: „gerader Grad, also achsensymmetrisch“. Symmetrie hängt an allen Exponenten, nicht nur am höchsten. Zeile 5 stimmt übrigens: Bei x = 0 hat g einen Sattelpunkt — waagerechte Tangente, aber kein Richtungswechsel.
Ansatz: Prüfe jede Zeile einzeln: Globalverhalten über den Leitkoeffizienten, Symmetrie über alle Exponenten, Rechnungen nachrechnen.
Weg: Zeile 2: Was macht −x⁴ für große |x|? Zeile 4: Welche Exponenten kommen vor? Zeile 6: 4 · 27 = 108.
A8
Mix-Aufgabe: Ein Graph, vier Werkzeuge
AFB IIIDie Funktion f(x) = x⁴ − 10x² + 9 verbindet vier Werkzeuge: Grad, Substitution (Klasse 10), Symmetrie und Ableitung.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Wie viele Nullstellen hat f höchstens? (Merke-Regel) Nullstellen
- Größte Nullstelle von f (substituiere z = x²)
- f hat bei x = 0 einen Hochpunkt. Welche y-Koordinate hat er?
- Die Tiefpunkte liegen bei x = ±√5. Welche y-Koordinate haben sie?
Mit z = x² wird z² − 10z + 9 = 0, also z = 1 oder z = 9 — und damit x = ±1 und x = ±3: Die Höchstzahl 4 wird erreicht. Wegen der Achsensymmetrie genügt es, einen Tiefpunkt zu berechnen: f(√5) = 25 − 50 + 9 = −16. Trick: (√5)⁴ = 5² = 25.
Ansatz: Grad 4 → höchstens 4 Nullstellen. Mit z = x² entsteht eine quadratische Gleichung für z.
Weg: z² − 10z + 9 = (z − 1)(z − 9). Für den Tiefpunkt: (√5)² = 5 und (√5)⁴ = 25 einsetzen.
A9
Trickaufgabe: Wie viele Extremstellen?
AFB IIIWie viele Extremstellen hat der Graph von f(x) = x³ + 3x − 1 tatsächlich?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
f′(x) = 3x² + 3 ist immer mindestens 3, also nie null — der Graph steigt überall und hat keine Extremstelle. Wer „2“ eingibt, hat die Merke-Regel als „genau“ statt „höchstens“ gelesen. Auch x³ allein zeigt das: Grad 3, aber keine Extremstelle.
Ansatz: Die Merke-Regel sagt „höchstens n − 1“. Ob die Zahl erreicht wird, zeigt erst die Ableitung.
Weg: f′(x) = 3x² + 3. Kann 3x² + 3 = 0 werden? x² ist nie negativ.
A10
Nullstellen nach dem Verschieben
AFB IIIDer Graph von h(x) = x⁴ − 2x² hat den Hochpunkt H(0|0) und die Tiefpunkte T(±1|−1). Schätze für jede neue Funktion, wie viele Nullstellen sie hat — ohne zu rechnen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = keine, 2 = eine, 3 = zwei, 4 = drei, 5 = vier. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = keine5 = vier
h(x) selbst
h(x) + 0,5
h(x) + 1
h(x) + 3
h(x − 2)
Stell dir das „W“ vor: Hebt man es um 0,5 an, liegen die Tiefpunkte bei −0,5 — vier Schnittpunkte. Um 1 angehoben berühren beide Tiefpunkte die x-Achse (zwei doppelte Nullstellen), um 3 angehoben schwebt der Graph ganz über der Achse. h(x − 2) verschiebt nur nach rechts: Die Anzahl bleibt drei. Überlegen mit Hoch- und Tiefpunkten ist hier viel schneller als jede Rechnung.
Ansatz: Skizziere das „W“ mit H(0|0) und T(±1|−1). Eine Verschiebung nach oben hebt alle drei Punkte an.
Weg: Liegen die Tiefpunkte unter der Achse und der Hochpunkt darüber, gibt es vier Schnittpunkte. Eine Verschiebung nach rechts ändert keine Höhen.