Eigenschaften eines Graphen

Eine lokale Eigenschaft gehört zu einer bestimmten Stelle \(x_0\). Man erkennt sie schon an einem kleinen Stück des Graphen um diese Stelle.

• Punkt:\(P(2\mid 3)\) liegt auf dem Graphen, wenn \(f(2)=3\) ist.
• Nullstelle:Der Graph schneidet oder berührt die \(x\)-Achse; dort ist \(f(x_0)=0\).
• y-Achse:Der Graph schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_y(0\mid f(0))\).
• Hoch-/Tiefpunkt:Der Graph wechselt von steigend zu fallend (bzw. umgekehrt); die Tangente ist dort waagerecht.
• Wendepunkt:Der Graph wechselt von einer Links- in eine Rechtskurve (oder umgekehrt).
• Sattelpunkt:ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
• Steigung:Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0\), also \(f'(x_0)\).

Wähle einen Stift und markiere auf dem Graphen alle passenden Stellen — per Klick oder mit den Pfeiltasten (Bild ↑/Bild ↓ springen um 1) und Enter. Die Tasten 1–4 wechseln den Stift. Prüfe am Ende.

Halte fest: Hoch- und Tiefpunkte liegen dort, wo der Graph die Richtung wechselt, Wendepunkte dort, wo er die Krümmung wechselt. Eine Stelle kann zwei Eigenschaften zugleich haben — etwa Nullstelle und Tiefpunkt.

Eine globale Eigenschaft betrifft den ganzen Graphen. Man liest sie direkt am Funktionsterm \(f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\) ab.

• Grad:der höchste Exponent \(n\); \(a_n\) heißt Leitkoeffizient.
• x → ±∞:Nur \(a_nx^n\) entscheidet. \(n\) ungerade, \(a_n>0\): von links unten nach rechts oben; \(n\) gerade, \(a_n>0\): links oben und rechts oben. Bei \(a_n<0\) ist es jeweils umgekehrt.
• Achsensymmetrie:nur gerade Exponenten (die Konstante zählt als \(x^0\)) → symmetrisch zur \(y\)-Achse, z. B. \(f(x)=2x^4-3x^2+5\).
• Punktsymmetrie:nur ungerade Exponenten → symmetrisch zum Ursprung, z. B. \(f(x)=x^3-4x\).
• Gemischt:Kommen gerade und ungerade Exponenten vor, liegt keine dieser Symmetrien vor.