Flugaktivität eines Bienenvolks
AFB I–IIEine Imkerin zählt mit einer Lichtschranke am Flugloch, wie viele Bienen pro Minute ihren Stock verlassen. An einem warmen, wolkenlosen Sommertag wird diese Flugaktivität zwischen 6 Uhr und 18 Uhr modelliert durch
\(A(t)=\frac{1}{324}t^4-\frac{2}{27}t^3+\frac{4}{9}t^2=\frac{1}{324}\,t^2\,(12-t)^2\) mit \(0\le t\le 12\).
Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden nach 6 Uhr und \(A(t)\) die Anzahl der ausfliegenden Bienen in Hundert pro Minute. Die Abbildung zeigt den Graphen von \(A\).
- Entnehmen Sie der Abbildung die Koordinaten des Hochpunkts und die Nullstellen von \(A\) jeweils mit ihrer Bedeutung im Sachzusammenhang.
- Beschreiben Sie den Verlauf der Flugaktivität im Tagesverlauf. Verwenden Sie dabei die Fachbegriffe Hochpunkt, Wendepunkt, Links- und Rechtskurve.
- Lösen Sie die Gleichung \(A(t)=2{,}25\) für \(0\le t\le 12\). Die Lösungen geben die Uhrzeiten an, zu denen 225 Bienen pro Minute ausfliegen.
- Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Graph von \(A\) die \(t\)-Achse bei \(t=0\) und \(t=12\) berührt und nicht schneidet.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Hochpunkt \(H(6\mid 4)\): Um 12 Uhr ist die Flugaktivität mit 400 Bienen pro Minute am größten.
Nullstellen \(t=0\) und \(t=12\): Um 6 Uhr und um 18 Uhr fliegen im Modell keine Bienen aus (Beginn und Ende des Flugtages).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Von 6 Uhr bis etwa 8:30 Uhr (\(t\approx 2{,}5\)) ist der Graph eine Linkskurve: Die Flugaktivität nimmt immer schneller zu. Im ersten Wendepunkt \(W_1(\approx 2{,}5\mid\approx 1{,}8)\) ist der Anstieg am größten, danach eine Rechtskurve: Die Zunahme wird langsamer bis zum Hochpunkt \(H(6\mid 4)\) um 12 Uhr.
Danach nimmt die Flugaktivität ab, zunächst immer schneller bis zum zweiten Wendepunkt \(W_2(\approx 9{,}5\mid\approx 1{,}8)\) gegen 15:30 Uhr (stärkste Abnahme), dann in einer Linkskurve immer langsamer bis auf 0 um 18 Uhr. Der Verlauf ist symmetrisch zur Mittagszeit.
Exakt: \(A''(t)=0\) liefert \(t=6\pm2\sqrt3\), also \(t\approx 2{,}54\) und \(t\approx 9{,}46\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\frac{1}{324}\big(t(12-t)\big)^2=2{,}25 \iff \big(t(12-t)\big)^2=729 \iff t(12-t)=27\) (für \(0\le t\le12\) ist \(t(12-t)\ge 0\)).
\(t^2-12t+27=0 \iff (t-3)(t-9)=0 \iff t=3\) oder \(t=9\).
Um 9 Uhr und um 15 Uhr fliegen 225 Bienen pro Minute aus. Die beiden Zeiten liegen symmetrisch zu 12 Uhr. (Der Fall \(t(12-t)=-27\) liefert \(t=6\pm3\sqrt7\) und liegt außerhalb von \([0;12]\).)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
In \(A(t)=\frac{1}{324}\,t^2(12-t)^2\) treten beide Linearfaktoren im Quadrat auf: \(t=0\) und \(t=12\) sind doppelte Nullstellen.
Als Produkt aus einer positiven Zahl und zwei Quadraten ist \(A(t)\ge 0\) für alle \(t\). Der Graph kann also nicht unter die \(t\)-Achse wechseln; an den Nullstellen berührt er sie. Die Punkte \((0\mid 0)\) und \((12\mid 0)\) sind Tiefpunkte.
Kursverlauf einer Aktie
AFB II–IIIDer Kurs einer Aktie wird an einem Handelstag zwischen 9 Uhr und 17 Uhr modelliert durch
\(K(t)=t^3-12t^2+36t+100\) mit \(0\le t\le 8\).
Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden nach 9 Uhr und \(K(t)\) der Kurs in Euro. Die Abbildung zeigt den Graphen von \(K\).
- Untersuchen Sie den Graphen von \(K\) rechnerisch auf Extrem- und Wendepunkte.
- Interpretieren Sie den Wendepunkt im Sachzusammenhang.
- Vergleichen Sie den Kurs im Hochpunkt mit dem Kurs bei Handelsschluss um 17 Uhr im Hinblick auf die Frage, ob der Hochpunkt den höchsten Kurs des Tages angibt.
- Beurteilen Sie die Aussage eines Analysten: „Der Leitkoeffizient ist positiv und der Grad ungerade, also steigt der Kurs in den nächsten Tagen über alle Grenzen.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(K'(t)=3t^2-24t+36=3(t-2)(t-6)\), \(K''(t)=6t-24\).
\(K'(t)=0 \iff t=2\) oder \(t=6\). \(K''(2)=-12<0\): Hochpunkt \(H(2\mid 132)\). \(K''(6)=12>0\): Tiefpunkt \(T(6\mid 100)\).
\(K''(t)=0 \iff t=4\); \(K''\) wechselt dort das Vorzeichen: Wendepunkt \(W(4\mid 116)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(K'(4)=48-96+36=-12\).
Um 13 Uhr fällt der Kurs am stärksten, und zwar momentan um 12 € pro Stunde. Danach lässt der Kursverlust nach, bis der Kurs um 15 Uhr seinen Tiefstand erreicht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(K(8)=512-768+288+100=132=K(2)\).
Der Kurs bei Handelsschluss ist genauso hoch wie im Hochpunkt. Der höchste Kurs des Tages (132 €) wird also zweimal erreicht, um 11 Uhr im lokalen Hochpunkt und um 17 Uhr am Rand des Intervalls. Der Hochpunkt ist ein lokales Maximum; das globale Maximum auf \([0;8]\) muss man auch an den Rändern suchen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Mathematisch stimmt die Aussage über das Modell: Grad 3 und Leitkoeffizient \(1>0\), also \(K(t)\to\infty\) für \(t\to\infty\).
Das Modell ist aber nur für \(0\le t\le 8\) aufgestellt. Das Globalverhalten beschreibt kein reales Verhalten: Für \(t\to-\infty\) würde \(K(t)\to-\infty\), also ein negativer Kurs gelten — offensichtlich unsinnig. Außerdem folgt ein Aktienkurs keinem festen Funktionsterm.
Urteil: Der Schluss auf die folgenden Tage ist nicht zulässig. Eine vollständige Antwort nennt das mathematische Globalverhalten und begründet mit dem Gültigkeitsbereich, warum man es nicht auf die Realität überträgt.