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Übungsaufgaben
Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III, mit einer Mix-Aufgabe zu früheren Unterkapiteln und einer Trickaufgabe. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du nicht weiterkommst, helfen die zwei gestuften Tipps.
A1
Was verrät die letzte Zeile?
AFB IWelche Aussagen über die Lösungsvielfalt eines LGS stimmen?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
7c = 0 ist kein Widerspruch, sondern liefert c = 0 — genau eine Lösung ist möglich. 0 = 0 sagt nur, dass eine Gleichung überflüssig war. Und mehr Gleichungen als Unbekannte sind erlaubt, solange sie sich nicht widersprechen.
Strategie: Unterscheide: Steht links noch eine Unbekannte mit Faktor ≠ 0 — oder steht links nur noch 0?
Ansatz: Nur „0 = Zahl ≠ 0“ ist ein Widerspruch. „Zahl · c = 0“ lässt sich nach c auflösen.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Behauptungen zu Geraden, Widersprüchen und Parametern.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Merke: Geraden schneiden sich → genau eine Lösung; parallel → keine; identisch → unendlich viele.
Strategie: Vergleiche die linken Seiten: Ist die eine ein Vielfaches der anderen?
Ansatz: Wenn ja, entscheidet die rechte Seite: passt sie zum gleichen Vielfachen → identisch, sonst → parallel.
A3
Fachsprache der Lösungsvielfalt
AFB ISetze die Begriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Steht in der letzten Zeile ein wie 0 = 4, ist die Lösungsmenge . Steht dort 0 = 0, war eine Gleichung , und eine Unbekannte wird als t frei gewählt. Bei zwei Gleichungen mit zwei Variablen gehören zum Fall „keine Lösung“ zwei Geraden.
„eindeutig“ beschreibt den dritten Fall — genau eine Lösung — und kommt in diesem Text gar nicht vor. Die Lücken betreffen nur die beiden Sonderfälle.
Strategie: Ordne zuerst die Wörter den Fällen zu: Was gehört zu „keine Lösung“, was zu „unendlich viele“?
Ansatz: Zu „keine“: Widerspruch, leer, parallel. Zu „unendlich viele“: überflüssig, Parameter.
A4
Eine, keine oder unendlich viele?
AFB IISortiere nach der Anzahl der Lösungen. Bei den Zeilen „unten …“ ist das LGS schon in Stufenform, die oberen Zeilen sind in Ordnung.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1genau eine
2keine
3unendlich viele
Die Falle ist −2c = 0: Das ist kein Widerspruch, sondern c = 0. Bei 3x − 6y = 9 und −x + 2y = −3 ist die erste Gleichung das (−3)-Fache der zweiten — dieselbe Gerade. Eine Steigung kann an derselben Stelle nicht gleichzeitig 0 und 1 sein.
Strategie: Zwei Fragen pro Karte: Steht links noch eine Unbekannte? Sind die Gleichungen Vielfache voneinander?
Ansatz: Multipliziere die jeweils kürzere Gleichung so, dass die linken Seiten übereinstimmen, und vergleiche dann die rechten Seiten.
A5
Parallel gemacht
AFB IIFür welchen Wert von k hat das LGS I: 2x + ky = 4, II: 3x + 6y = 5 keine Lösung?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Keine Lösung gibt es nur bei parallelen Geraden: Die linken Seiten müssen Vielfache sein. 2 : 3 = k : 6 liefert k = 4. Dann ist I: 2x + 4y = 4, also x + 2y = 2, und II: x + 2y = 5/3 — gleiche linke Seite, verschiedene rechte Seite. Für jedes andere k gibt es genau eine Lösung.
Strategie: Wann haben zwei Geraden keinen gemeinsamen Punkt?
Ansatz: Die Koeffizienten vor x und y müssen im selben Verhältnis stehen: 2 : 3 = k : 6. Danach die rechte Seite prüfen.
A6
Unendlich viele Lösungen ausrechnen
AFB IILöse I: a + 2b − c = 4, II: 2a + 5b + c = 11, III: a + 3b + 2c = 7 mit dem Gauß-Verfahren und setze c = t.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Faktor vor c nach II − 2·I
- Nach III − I und danach III − II steht unten 0 = □. Welche Zahl?
- b für t = 0
- a für t = 1
II − 2·I und III − I liefern beide b + 3c = 3 — die dritte Gleichung ist überflüssig. Mit c = t: b = 3 − 3t, a = 4 − 2b + c = −2 + 7t. Für t = 1 ergibt sich (5 | 0 | 1). Probe in III: 5 + 0 + 2 = 7 ✓.
Strategie: Erst die Stufenform herstellen; eine Nullzeile ist kein Fehler, sondern ein Befund.
Ansatz: Aus b + 3c = 3 folgt b = 3 − 3t. Dann in I einsetzen: a = 4 − 2b + t.
A7
LGS und Geradenbild
AFB IIOrdne jedem LGS den passenden Befund zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Erst die Vielfachen-Probe: 2x − y = 1 mal (−2) ergibt genau die zweite Gleichung (identisch); x − 3y = 2 mal 2 ergibt 2x − 6y = 4 ≠ 1 (parallel). Für die drei übrigen Systeme reicht Addieren bzw. Subtrahieren, z. B. (2x + y) + (x − y) = 3x = −3.
Strategie: Sortiere zuerst die beiden Sonderfälle aus — die Schnittpunkte kannst du danach durch Einsetzen testen.
Ansatz: Setze die Koordinaten jedes Schnittpunkts in beide Gleichungen ein, statt jedes LGS vollständig zu lösen.
A8
Mix: Steckbriefe auf dem Prüfstand
AFB IIIWiederholung aus 1.1.2 und 1.1.4: Übersetze jeden Steckbrief im Kopf in ein LGS und kreuze an, wie viele Lösungen es hat.
Setze in jeder Zeile alle zutreffenden Kreuze. Enter setzt und löscht, Pfeiltasten wandern.
| Steckbrief | genau eine | keine | unendlich viele |
|---|---|---|---|
| Parabel durch A(0 | 2) und B(4 | 2) | |||
| Parabel mit Scheitel S(1 | 3), die durch P(1 | 5) geht | |||
| Parabel durch (−1 | 0), (1 | 0) und (0 | −2) | |||
| Grad 3 mit Hochpunkt H(0 | 4) und Tiefpunkt T(2 | 0) | |||
| Ansatz ax³ + cx, Graph durch P(1 | 2) und Q(−1 | −2) | |||
| Parabel durch (1 | 1), (2 | 2) und (3 | 3) |
Zu wenig Bedingungen (zwei für drei Unbekannte) oder eine durch Symmetrie überflüssige Bedingung → Schar mit Parameter. S(1 | 3) und P(1 | 5) verlangen f(1) = 3 und f(1) = 5 → Widerspruch. Vorsicht bei der letzten Zeile: Das LGS ist eindeutig lösbar, liefert aber a = 0 — die drei Punkte liegen auf der Geraden y = x, eine echte Parabel gibt es nicht.
Strategie: Zähle Unbekannte und Gleichungen und prüfe, ob sich zwei Bedingungen widersprechen oder wiederholen.
Ansatz: Bei ax³ + cx gilt immer f(−1) = −f(1). Und liegen drei Punkte auf einer Geraden, wird a = 0.
A9
Fehlersuche im Heft
AFB IIIGelöst wird I: a + b − 2c = 1, II: 2a + 3b − c = 5, III: a + 2b + c = 4. Sechs Zeilen aus einem Heft — drei sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten ist Zeile 3: 0 = 0 wird mit „Lösung 0“ verwechselt. Der Klammerfehler in Zeile 5 fällt bei einer ehrlichen Probe mit t = 1 sofort auf: (−3 | 0 | 1) erfüllt I nicht, (3 | 0 | 1) dagegen schon.
Strategie: Rechne jede Zeile nach und frage bei den Deutungen: Was bedeutet 0 = 0 wirklich?
Ansatz: Beim Einsetzen von b = 3 − 3t eine Klammer setzen: −(3 − 3t) = −3 + 3t.
A10
Trickaufgabe: Keine oder unendlich viele?
AFB IIIGegeben ist I: a + b + c = 3, II: a + 2b + 3c = 5, III: 2a + 3b + kc = 8. Stelle k so ein, dass das LGS keine Lösung hat — oder, falls das für kein k möglich ist, so, dass es nicht eindeutig lösbar ist.
Strategie: Führe das Gauß-Verfahren mit k als Zahl durch und schau, was in der letzten Zeile links und rechts steht.
Ansatz: Die rechte Seite der letzten Zeile ist 0 — unabhängig von k. Kann dann ein Widerspruch 0 = r mit r ≠ 0 entstehen?