MINT lernen

Lösungsvielfalt eines LGS

Genau eine, gar keine oder unendlich viele Lösungen — die letzte Zeile der Stufenform verrät es.

1

Drei Fälle in der Stufenform

Nach dem Gauß-Verfahren entscheidet die unterste Gleichung, wie viele Lösungen das LGS hat.

  • Genau eine:unten steht z. B. \(4c=8\) — \(c\) liegt fest, rückwärts einsetzen liefert \(b\) und \(a\).
  • Keine:unten steht z. B. \(0=5\) — ein Widerspruch, die Lösungsmenge ist leer: \(L=\{\,\}\).
  • Unendlich viele:unten steht \(0=0\) — die Gleichung gilt immer, eine Unbekannte bleibt frei wählbar (Parameter \(t\)).
Rechnung:
\(\begin{array}{lrrrcr}\text{I}&a&+\,b&+\,c&=&6\\ \text{II}&&b&-\,c&=&1\\ \text{III}&&&0&=&0\end{array}\)
| Stufenform

Gleichung III gilt immer — für \(c\) gibt es keine Bedingung.

\(c=t\)
| \(c\) frei wählen

\(t\) steht für eine beliebige reelle Zahl.

\(b=1+t\)
| in II

\(b-t=1\) nach \(b\) aufgelöst.

\(a=6-(1+t)-t=5-2t\)
| in I

Lösungen \((5-2t\mid 1+t\mid t)\), z. B. \(t=0\): \((5\mid 1\mid 0)\), \(t=1\): \((3\mid 2\mid 1)\).

Merke

Letzte Zeile: \(0=0\) → unendlich viele Lösungen · \(0=r\) mit \(r\neq 0\) → keine Lösung · sonst genau eine Lösung

2

Geometrisch und im Steckbrief

  • Zwei Geraden:Jede Gleichung \(ax+by=c\) mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade.
  • Schneiden:ein gemeinsamer Punkt → genau eine Lösung.
  • Parallel:kein gemeinsamer Punkt → keine Lösung.
  • Identisch:alle Punkte gemeinsam → unendlich viele Lösungen.
  • Zu wenig:Bedingungen fehlen → eine ganze Schar passt, z. B. alle \(f(x)=ax^2-2ax+1\) durch \((0\mid 1)\) und \((2\mid 1)\).
  • Widersprüchlich:„Hochpunkt bei \(x=1\)“ und „Steigung 2 bei \(x=1\)“ liefern \(0=2\) — keine Funktion passt.

Wähle ein Beispiel oder tippe einen Koeffizienten an und ändere ihn mit − und + (oder Pfeiltasten). Die beiden Geraden liegen übereinander im Koordinatensystem, links steht die Stufenform.

Zwei Geraden, ein LGS

Gleichungssystem

Stufenform

Halte fest: Sind die linken Seiten Vielfache voneinander, gibt es nie genau eine Lösung — dann entscheidet die rechte Seite zwischen „parallel“ (keine) und „identisch“ (unendlich viele).

3

Allgemeine Hinweise

0 = 0 heißt nicht „Lösung 0“

\(0=0\) sagt nur, dass eine Gleichung überflüssig war. Die Lösung besteht aus unendlich vielen Zahlentripeln mit Parameter.

Widerspruch? Erst nachrechnen

Ein \(0=5\) entsteht oft durch einen Rechenfehler. Vor „keine Lösung“ die Umformungen noch einmal prüfen.

Probe mit Parameter

Zwei Werte für \(t\) einsetzen, z. B. \(t=0\) und \(t=1\): Beide Tripel müssen alle Ausgangsgleichungen erfüllen.

Videos