Drei Gruppen, drei Abstöße
AFB I–IIIm Sportunterricht werden Abstöße eines Torwarts gefilmt. Drei Gruppen sollen die Flugbahn des Balls jeweils durch eine Parabel mit \(f(x)=ax^2+bx+c\) beschreiben (\(x\): waagerechte Entfernung vom Abstoßpunkt, \(f(x)\): Höhe, beides in m). Jede Gruppe wählt drei Punkte aus ihrem Video:
- Gruppe A: \((0\mid 0)\), \((10\mid 3)\), \((20\mid 4)\)
- Gruppe B wertet dasselbe Video aus, zwei Mitglieder haben aber dasselbe Bild vermessen: \((0\mid 0)\), \((10\mid 3)\), \((10\mid 2{,}8)\)
- Gruppe C, flacher Abstoß: \((0\mid 0)\), \((5\mid 1{,}5)\), \((15\mid 4{,}5)\)
- Bestimmen Sie die Parabel der Gruppe A und die Stelle, an der der Ball wieder auf dem Boden aufkommt.
- Zeigen Sie mit dem Gauß-Verfahren, dass das LGS der Gruppe B keine Lösung hat.
- Deuten Sie das Ergebnis des LGS der Gruppe C im Sachzusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
I: \(c=0\); II: \(100a+10b+c=3\); III: \(400a+20b+c=4\).
Mit \(c=0\): III − 2·II: \(200a=-2\Rightarrow a=-0{,}01\); aus II: \(10b=3+1=4\Rightarrow b=0{,}4\).
\(f(x)=-0{,}01x^2+0{,}4x=-0{,}01x\,(x-40)\). Nullstellen \(x=0\) und \(x=40\): Der Ball kommt nach \(40\,\mathrm{m}\) wieder auf. Das LGS hat genau eine Lösung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
I: \(c=0\); II: \(100a+10b+c=3\); III: \(100a+10b+c=2{,}8\).
III − II: \(0a+0b+0c=-0{,}2\), also \(0=-0{,}2\) — ein Widerspruch. Die Lösungsmenge ist leer: \(L=\{\,\}\).
Sachlich: Ein Funktionsgraph kann an derselben Stelle \(x=10\) nicht zwei verschiedene Höhen haben. (Kontrolle mit dem GTR: MENU › Gleichung › F1 (SIMUL) › F2 für drei Unbekannte, nach F1 (SOLVE) erscheint No Solution.)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
I: \(c=0\); II: \(25a+5b=1{,}5\); III: \(225a+15b=4{,}5\).
III − 3·II: \(150a=0\Rightarrow a=0\); aus II: \(b=0{,}3\). Das LGS hat genau eine Lösung: \(f(x)=0{,}3x\).
Deutung: Die Lösung ist eindeutig, aber wegen \(a=0\) ist \(f\) keine Parabel, sondern eine Gerade — die drei Punkte liegen auf einer Geraden. Die Gruppe hat nur den ansteigenden Anfang des flachen Abstoßes vermessen, dort ist die Krümmung der Bahn in ihren (gerundeten) Messwerten nicht zu erkennen. Für eine Parabel braucht sie einen Punkt aus dem späteren Teil der Flugbahn, etwa nahe dem höchsten Punkt.
Ein Kanal unter der Autobahn
AFB II–IIIEin neuer Kanal soll in der Draufsicht (Angaben in km) vom Fluss im Punkt \(P(0\mid -3)\) zum Hafenbecken im Punkt \(Q(4\mid 5)\) führen und dabei unter der Autobahnbrücke im Punkt \(W(2\mid 1)\) hindurchgehen. Damit Schiffe unter der Brücke nicht mitten in einer Kurve lenken müssen, soll der Kanal dort seine Krümmungsrichtung wechseln (Übergang zwischen Rechts- und Linkskurve), \(W\) soll also Wendepunkt sein.
Das Planungsbüro wählt den Ansatz \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) und notiert: „Vier Bedingungen, vier Unbekannte — damit ist der Verlauf eindeutig festgelegt.“ Später schlagen drei Fachleute je eine Zusatzbedingung vor:
- (1) Unter der Brücke soll der Kanal die Steigung \(-2\) haben, damit er die Autobahn möglichst rechtwinklig kreuzt.
- (2) Der Kanal soll am Bootsanleger \(H(1\mid 0)\) vorbeiführen.
- (3) Der Kanal soll durch den Punkt \(R(3\mid 3)\) verlaufen, an dem schon eine Uferbefestigung steht.
- Überprüfen Sie die Aussage des Planungsbüros mit dem Gauß-Verfahren und geben Sie gegebenenfalls alle passenden Funktionen an.
- Erklären Sie ohne Rechnung, warum eine der vier Bedingungen keine neue Information liefert.
- Diskutieren Sie die drei Vorschläge und entscheiden Sie sich begründet für einen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f''(x)=6ax+2b\). Bedingungen: \(f(0)=-3\), \(f(2)=1\), \(f''(2)=0\), \(f(4)=5\).
Aus \(f(0)=-3\): \(d=-3\). Damit:
I: \(8a+4b+2c=4\)
II: \(12a+2b=0\)
III: \(64a+16b+4c=8\)
III − 2·I: \(48a+8b=0\). Davon 4·II abziehen: \(0=0\).
Die letzte Zeile ist immer erfüllt, das LGS hat unendlich viele Lösungen — die Aussage des Planungsbüros ist falsch. Mit \(a=t\): \(b=-6t\), \(c=\tfrac{4-8t+24t}{2}=2+8t\), \(d=-3\):
\(f_t(x)=tx^3-6tx^2+(2+8t)x-3=t\cdot x(x-2)(x-4)+2x-3\), \(t\in\mathbb{R}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Graph jeder Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt. \(P(0\mid -3)\) und \(Q(4\mid 5)\) liegen symmetrisch zu \(W(2\mid 1)\), denn \(W\) ist der Mittelpunkt von \(\overline{PQ}\). Geht der Graph durch \(P\) und hat in \(W\) seinen Wendepunkt, geht er deshalb automatisch auch durch \(Q\): Die Bedingung \(f(4)=5\) steckt schon in den anderen — im Gauß-Verfahren wird daraus \(0=0\). Es bleiben drei echte Bedingungen für vier Unbekannte, also eine ganze Schar.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
(1) \(f_t'(x)=t(3x^2-12x+8)+2\), \(f_t'(2)=-4t+2=-2\Rightarrow t=1\): \(f_1(x)=x^3-6x^2+10x-3\). Der Kanal kreuzt die Autobahn steil, macht aber eine ausgeprägte S-Kurve: Er steigt bis etwa \((1{,}2\mid 2{,}1)\) nach Norden, läuft dann bis etwa \((2{,}8\mid -0{,}1)\) zurück nach Süden und erst danach zum Hafen — lang, mit engen Kurven.
(2) \(f_t(1)=3t-1=0\Rightarrow t=\tfrac13\): \(f(x)=\tfrac13x^3-2x^2+\tfrac{14}{3}x-3\). Wegen \(f'(x)=x^2-4x+\tfrac{14}{3}>0\) steigt der Verlauf überall — eine sanfte, kurze Kurve; die Brücke wird mit Steigung \(\tfrac23\) gekreuzt.
(3) \(f_t(3)=-3t+3=3\Rightarrow t=0\): \(f(x)=2x-3\). Das ist eine Gerade, keine Funktion dritten Grades; \(R\) liegt auf der Geraden durch \(P\), \(W\), \(Q\). Ein gerader Kanal wäre am kürzesten, widerspricht aber dem Ansatz des Büros (in \(W\) gibt es keinen Kurvenwechsel).
Urteil (Beispiel): Vorschlag (2) liefert eine eindeutige, flache Kurve dritten Grades ohne Richtungsumkehr und ist daher am besten geeignet; (1) ist mathematisch möglich, fachlich wegen der S-Kurve ungünstig; (3) verfehlt den geforderten Kurvenwechsel. Auch eine begründete Entscheidung für (3) (kürzester Weg) ist vertretbar, wenn sie den Widerspruch zum Grad-3-Ansatz benennt. Vollständig ist eine Antwort mit allen drei \(t\)-Werten und einer Abwägung nach Sachkriterien.