LGS mit GTR und CAS: Übungen – Mathe Grundkurs

A1

Was gilt beim Eintippen?

AFB I

Markiere alle Aussagen, die zur Bedienung von GTR und CAS passen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Die Spaltenköpfe a, b, c, d sind nur die Koeffizienten einer Zeile, die Unbekannten heißen X, Y, Z. No Solution kann ein Tippfehler sein — stimmt die Eingabe aber, widersprechen sich die Gleichungen wirklich. false kommt nur von solve und bedeutet „keine Lösung“.

A2

Stimmt's? — Rechnerausgaben lesen

AFB I

Fünf Behauptungen zu dem, was GTR und CAS anzeigen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Merke: Eine Liste aus Zahlen heißt genau eine Lösung, ein freier Buchstabe (Z oder c1) heißt unendlich viele, No Solution bzw. false heißt keine.

A3

Der Weg durch die Menüs

AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Begriff bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim GTR öffnet man MENU › und wählt mit F1 den Modus . Nach der Eingabe aller Koeffizienten liefert F1 die Werte von X, Y und Z. Widersprechen sich die Gleichungen, meldet der GTR . Hat ein LGS unendlich viele Lösungen, schreibt das CAS eine frei wählbare Zahl als .

„Infinitely Many Solutions“ ist die GTR-Meldung für unendlich viele Lösungen — bei einem Widerspruch zeigt der GTR dagegen No Solution.

A4

Eine, keine oder unendlich viele?

AFB II

Jede Karte zeigt eine Rechnerausgabe. Ordne sie nach der Anzahl der Lösungen des LGS.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1genau eine Lösung

2keine Lösung

3unendlich viele Lösungen

Die Rref-Zeile 0 0 0 4 steht für 0 = 4 — ein Widerspruch. Die Nullzeile 0 0 0 0 steht für 0 = 0: Sie ist immer wahr, übrig bleiben zwei Gleichungen für drei Unbekannte.

A5

Trickaufgabe: Vertauschte Spalten

AFB II

Gesucht ist die Lösung des LGS I: 2a + b − c = 6, II: 4a − b + 2c = −4, III: a + 2b + 3c = 5,5. Tim tippt die Koeffizienten in der Reihenfolge c, b, a ein, also die Zeilen −1 1 2 6, 2 −1 4 −4 und 3 2 1 5,5. Der GTR zeigt X = −1, Y = 4, Z = 0,5. Welchen Wert hat a?

Ansatz: Welche Unbekannte gehört bei Tim zur ersten, zweiten und dritten Spalte?

Zwischenschritt: X gehört zur ersten Spalte, Z zur dritten. Mache mit deinem Ergebnis die Probe in Gleichung I.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Die erste Spalte gehört bei Tim zu c, also ist X = c = −1, Y = b = 4 und Z = a = 0,5. Probe in I: 2 · 0,5 + 4 − (−1) = 6 ✓. Wer X einfach als a liest, schreibt a = −1 — die Rechnung stimmt, die Deutung nicht.

A6

Ein LGS mit dem GTR lösen

AFB II

Bringe die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Jede Gleichung ordnen: □a + □b + □c = □, fehlende Koeffizienten als 0

2MENU › Gleichung › F1 (SIMUL) aufrufen

3Mit F2 drei Unbekannte einstellen

4Koeffizienten zeilenweise mit EXE eintippen und mit dem Heft vergleichen

5F1 (SOLVE) drücken und X, Y, Z als a, b, c deuten

Am häufigsten verrutscht der erste Schritt: Wer erst im Menü ordnet, übersieht leicht ein Minuszeichen oder eine fehlende 0 — Ordnen gehört ins Heft.

A7

Vier Punkte, vier Unbekannte

AFB II

Der Graph einer Funktion dritten Grades f(x) = ax³ + bx² + cx + d geht durch P(−1|−0,5), Q(1|2,5), R(2|1) und S(4|7). Löse das LGS mit dem GTR oder dem CAS.

Ansatz: Setze jeden Punkt in f ein: Aus P(−1|−0,5) wird −a + b − c + d = −0,5.

Zwischenschritt: Nach MENU › Gleichung › F1 (SIMUL) steht F3 für vier Unbekannte. Die Zeile zu S lautet 64 16 4 1 7.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Wie viele Unbekannte stellst du nach F1 (SIMUL) ein?
a =
b =
Welchen Funktionswert f(3) liefert der fertige Term?

I: −a + b − c + d = −0,5, II: a + b + c + d = 2,5, III: 8a + 4b + 2c + d = 1, IV: 64a + 16b + 4c + d = 7. Der Rechner liefert a = 0,5, b = −2, c = 1, d = 3, also f(x) = 0,5x³ − 2x² + x + 3 und f(3) = 13,5 − 18 + 3 + 3 = 1,5. Bei vier Unbekannten wählst du nach SIMUL die Taste F3.

A8

Welche Ausgabe gehört zu welchem Steckbrief?

AFB III

Zu jedem Steckbrief einer Parabel f(x) = ax² + bx + c wurde das LGS in den Rechner getippt. Ordne die Ausgaben zu — möglichst, ohne selbst zu rechnen.

Strategie: Suche zuerst die beiden Sonderfälle: Wo können zwei Bedingungen nicht gleichzeitig gelten, wo sagt eine Bedingung nichts Neues?

Unterscheidung: Z bzw. die dritte Zahl der CAS-Liste ist c = f(0). Vergleiche mit den Steckbriefen, die etwas über die Stelle 0 verraten.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

P(1|2) und Q(1|4) haben dieselbe x-Koordinate — kein Funktionsgraph geht durch beide. Liegen P und Q gleich hoch, folgt die waagerechte Tangente in der Mitte schon aus der Symmetrie: Die dritte Bedingung ist nichts Neues. Bei den übrigen hilft ein Blick auf c = f(0): 2, 4 oder −2.

A9

Fehlersuche im GTR-Protokoll

AFB III

Mara schreibt auf, wie sie ein LGS mit dem GTR löst — drei Sätze sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Am häufigsten in Klausuren: die ungeordnete Gleichung. Der GTR rechnet mit dem, was in der Zeile steht — steht die Unbekannte noch auf der rechten Seite, ist das Ergebnis falsch, ohne dass der Rechner meckert.

A10

Gemischt: Wie viele Unbekannte stellst du ein?

AFB III

Bevor du SIMUL startest, setzt du alles ein, was sich sofort ablesen lässt (z. B. d aus einem Punkt auf der y-Achse) und nutzt Symmetrie. Schätze für jeden Steckbrief ein, wie viele Unbekannte dann noch in den GTR müssen — ohne zu rechnen.

Ansatz: Grad n bedeutet zunächst n + 1 Koeffizienten. Welche davon kennst du schon, bevor du rechnest?

Abkürzungen: Ein Punkt mit x = 0 verrät d. Punktsymmetrie zum Ursprung lässt nur ungerade Potenzen übrig.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = zwei, 2 = drei, 3 = vier, 4 = fünf, 5 = sechs. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = zwei5 = sechs

Grad 3 durch P(0|5), Q(1|2), R(2|3) und S(3|8)

Grad 3, punktsymmetrisch zum Ursprung, durch P(1|2) und Q(2|10)

Grad 3 durch P(−1|0), Q(1|4), R(2|3) und S(3|8)

Grad 5 mit sechs Bedingungen, keine davon an der Stelle 0

Grad 4 durch fünf Punkte, keiner davon auf der y-Achse

P(0|5) liefert sofort d = 5 — es bleiben a, b, c. Punktsymmetrie lässt nur f(x) = ax³ + cx übrig: zwei Unbekannte. Ohne Bedingung an der Stelle 0 bleibt es bei Grad + 1 Unbekannten: vier, fünf bzw. sechs. Wer vorher nachdenkt, tippt weniger — und vertippt sich seltener.

LGS mit GTR und CAS

Übungsaufgaben