Leiterseil über dem Feld
AFB I–IIZwischen zwei Masten einer Stromleitung hängt ein Leiterseil durch. Am Mast A (bei \(x=0\)) ist das Seil in \(20\,\text{m}\) Höhe befestigt, am \(150\,\text{m}\) entfernten Mast B in \(14\,\text{m}\) Höhe. Eine Drohne misst \(50\,\text{m}\) hinter Mast A eine Seilhöhe von \(8\,\text{m}\).
Das Seil soll näherungsweise durch eine quadratische Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) beschrieben werden (\(x\): waagerechter Abstand von Mast A in m, \(f(x)\): Höhe über dem Boden in m).
- Geben Sie die drei Bedingungen an, die sich aus der Skizze ergeben.
- Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem auf und notieren Sie die drei Eingabezeilen für den GTR (Koeffizienten von \(a\), \(b\), \(c\) und rechte Seite).
- Lösen Sie das LGS mit dem GTR oder dem CAS und geben Sie den Funktionsterm an.
- Berechnen Sie, an welcher Stelle das Seil am tiefsten hängt und wie hoch es dort über dem Boden ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f(0)=20\) (Befestigung an A), \(f(50)=8\) (Messpunkt M), \(f(150)=14\) (Befestigung an B).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\text{I: } c=20\), \(\text{II: } 2500a+50b+c=8\), \(\text{III: } 22500a+150b+c=14\).
GTR-Zeilen: 0 0 1 20, 2500 50 1 8, 22500 150 1 14. Die beiden Nullen in Zeile I dürfen nicht fehlen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der GTR zeigt X = 0,002, Y = −0,34, Z = 20, das CAS liefert exakt \(\{\tfrac{1}{500},\,-\tfrac{17}{50},\,20\}\).
Also \(a=0{,}002\), \(b=-0{,}34\), \(c=20\) und \(f(x)=0{,}002x^2-0{,}34x+20\) für \(0\le x\le150\).
Probe: \(f(50)=5-17+20=8\) ✓, \(f(150)=45-51+20=14\) ✓.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(f'(x)=0{,}004x-0{,}34=0 \Rightarrow x=85\).
\(f(85)=0{,}002\cdot7225-0{,}34\cdot85+20=14{,}45-28{,}9+20=5{,}55\).
Das Seil hängt \(85\,\text{m}\) hinter Mast A am tiefsten, dort ist es \(5{,}55\,\text{m}\) über dem Boden (Tiefpunkt, da \(a>0\)).
Freistoß über die Mauer
AFB II–IIIBei einem Freistoß liegt der Ball \(20\,\text{m}\) vor dem Tor, die Mauer steht \(9\,\text{m}\) vom Ball entfernt. Die Latte hängt in \(2{,}44\,\text{m}\) Höhe. Eine Videoanalyse ergibt: Über der Mauer fliegt der Ball in \(2{,}7\,\text{m}\) Höhe, ohne Tor wäre er nach \(24\,\text{m}\) auf dem Rasen aufgekommen.
Die Flugbahn wird durch \(f(x)=ax^2+bx+c\) beschrieben (\(x\): waagerechte Entfernung vom Abschusspunkt in m, \(f(x)\): Höhe in m). Mia stellt die Bedingungen \(f(0)=0\), \(f(24)=0\) und \(f'(12)=0\) („der höchste Punkt liegt in der Mitte“) auf. Ihr GTR meldet Infinitely Many Solutions.
- Erläutern Sie, warum Mias Bedingungen zu dieser Meldung führen, und was sie für die Flugbahn bedeutet.
- Ermitteln Sie mithilfe der Messung an der Mauer den Funktionsterm von \(f\). Geben Sie dabei die GTR-Eingabezeilen an.
- Untersuchen Sie, ob der Ball unter der Latte ins Tor fliegt, und geben Sie die größte Flughöhe an.
- Lea schlägt vor, statt der Mauermessung den im Video abgelesenen höchsten Punkt \(H(12\mid2{,}9)\) zu verwenden: \(f(0)=0\), \(f(24)=0\), \(f(12)=2{,}9\) und \(f'(12)=0\). „Vier Bedingungen sind genauer als drei.“ Beurteilen Sie Leas Vorschlag.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\text{I: } c=0\), \(\text{II: } 576a+24b+c=0\), \(\text{III: } 24a+b=0\). Mit \(c=0\) wird II zu \(576a+24b=0\), also \(24a+b=0\) — genau Gleichung III.
III bringt keine neue Information: Eine Parabel mit den Nullstellen \(0\) und \(24\) hat ihren Scheitel wegen der Symmetrie ohnehin bei \(x=12\). Es bleiben zwei Gleichungen für drei Unbekannte, der GTR meldet unendlich viele Lösungen (das CAS gibt eine Lösung mit dem Parameter c1 aus).
Für die Flugbahn heißt das: Jede nach unten geöffnete Parabel durch \((0\mid0)\) und \((24\mid0)\) passt — ob der Ball flach oder hoch fliegt, ist noch offen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Statt \(f'(12)=0\) wird \(f(9)=2{,}7\) verwendet: \(\text{I: } c=0\), \(\text{II: } 576a+24b+c=0\), \(\text{III: } 81a+9b+c=2{,}7\).
GTR-Zeilen: 0 0 1 0, 576 24 1 0, 81 9 1 2,7. Ergebnis: X = −0,02, Y = 0,48, Z = 0 (CAS: \(\{-\tfrac{1}{50},\,\tfrac{12}{25},\,0\}\)).
\(f(x)=-0{,}02x^2+0{,}48x\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f(20)=-0{,}02\cdot400+0{,}48\cdot20=-8+9{,}6=1{,}6\). Der Ball überquert die Torlinie in \(1{,}6\,\text{m}\) Höhe, also unter der Latte (\(1{,}6<2{,}44\)) und über dem Boden — er fliegt ins Tor.
\(f'(x)=-0{,}04x+0{,}48=0\Rightarrow x=12\), \(f(12)=-2{,}88+5{,}76=2{,}88\). Die größte Flughöhe beträgt \(2{,}88\,\text{m}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Leas Aussage trifft nicht zu. \(f'(12)=0\) folgt — wie in a) — schon aus \(f(0)=0\) und \(f(24)=0\); es bleiben drei unabhängige Bedingungen. Für den GTR wählt man \(f(0)=0\), \(f(24)=0\), \(f(12)=2{,}9\) und erhält \(g(x)=-\tfrac{29}{1440}x^2+\tfrac{29}{60}x\approx-0{,}0201x^2+0{,}4833x\).
Vergleich: \(g(9)\approx2{,}72\) statt gemessener \(2{,}7\), \(g(20)\approx1{,}61\) statt \(1{,}6\). Beide Modelle unterscheiden sich um etwa \(2\,\text{cm}\) — weniger als die Ablesegenauigkeit eines Videos.
Urteil: Leas Modell ist ebenso brauchbar, aber nicht genauer. Die Genauigkeit hängt von den Messwerten ab, nicht von der Anzahl der notierten Bedingungen; eine überzählige Bedingung, die nichts Neues sagt, verbessert nichts. Vollständig ist eine Antwort, die die Abhängigkeit erkennt, das Modell mit \(H\) berechnet und beide Modelle an den Messwerten vergleicht.