Aus Hochpunkt, Wendestelle und Nullstelle wird ein Term — wenn du jede Eigenschaft richtig zählst.
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Übungsaufgaben
Zehn interaktive Übungen zum Weg vom Steckbrief zum Funktionsterm — Bedingungen erkennen, Ansätze wählen, rechnen und prüfen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei einigen helfen dir zwei gestufte Tipps.
A1
Ein Tiefpunkt, welche Bedingungen?
AFB I
Der Graph einer Funktion dritten Grades hat den Tiefpunkt T(3|−2). Markiere alle Aussagen, die dazu passen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die x-Koordinate gehört immer in die Klammer: f(3) = −2, nicht f(−2) = 3. Die Steigung im Tiefpunkt ist 0, nicht −2. f″(3) = 0 wäre eine Bedingung für eine Wendestelle.
A2
Stimmt's? — Fünferserie zum Steckbrief
AFB I
Fünf Behauptungen über das Ermitteln von Funktionstermen.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Merke: Ansatz → Bedingungen → LGS → Lösen → Term angeben — und am Ende die Probe mit dem fertigen Term.
A3
Der Weg in fünf Schritten
AFB I
Setze die Fachbegriffe ein — einer bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Zuerst wählt man den Grad und notiert den mit allgemeinen Koeffizienten. Jede Eigenschaft des Graphen wird zu einer , also zu einer Gleichung. Setzt man den Ansatz ein, entsteht ein für die Koeffizienten. Mit dem fertigen Term macht man die . Ob ein Extrempunkt ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, zeigt die .
„Wendepunkt“ ist eine mögliche Eigenschaft des Graphen, aber kein Arbeitsschritt — er würde selbst wieder zu Bedingungen übersetzt.
A4
Welche Ableitung steckt drin?
AFB II
Jede Karte beschreibt eine Eigenschaft eines Graphen. Sortiere nach der Art der Bedingung, die sie liefert.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Punktbedingung f(x₀) = y₀
2Steigungsbedingung f′(x₀) = m
3Wendebedingung f″(x₀) = 0
Eine Stelle ohne Höhenangabe (Hochstelle, Wendestelle) liefert nur eine Ableitungsbedingung. Die parallele Gerade verrät nur ihre Steigung 3 — wo sie liegt, spielt keine Rolle.
A5
Hoch und tief
AFB II
Der Graph einer Funktion dritten Grades hat den Hochpunkt H(−1|3) und den Tiefpunkt T(1|−1). Ermittle den Funktionsterm und gib f(x) ein (z. B. als 2x^3-x+4).
Ansatz: Vier Bedingungen: zwei Punktbedingungen und zwei Steigungsbedingungen f′(±1) = 0.
Zwischenschritt: Subtrahiere die beiden Steigungsgleichungen — dann fällt fast alles weg und du erhältst b.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
I: −a + b − c + d = 3, II: 3a − 2b + c = 0, III: a + b + c + d = −1, IV: 3a + 2b + c = 0. IV − II ergibt 4b = 0, also b = 0 und c = −3a. I und III liefern 2a + d = 3 und −2a + d = −1, also d = 1 und a = 1. f(x) = x³ − 3x + 1. Probe: f″(−1) = −6 kleiner als 0 → Hochpunkt ✓.
A6
Musterlösung ordnen
AFB II
Eine Parabel hat den Hochpunkt H(3|5) und geht durch P(1|1). Bringe die Zeilen der Lösung in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Ansatz: f(x) = ax² + bx + c, f′(x) = 2ax + b
2Bedingungen: f(3) = 5, f′(3) = 0, f(1) = 1
3LGS: I 9a + 3b + c = 5, II 6a + b = 0, III a + b + c = 1
Am häufigsten vertauscht: Bedingungen und LGS. Erst wird jede Eigenschaft als Bedingung in f- bzw. f′-Schreibweise notiert — dann erst eingesetzt.
A7
Gemischt: Eigenschaft und Ansatz
AFB II
Symmetrie und besondere Punkte sparen Koeffizienten. Finde zu jeder Beschreibung den kürzesten passenden Ansatz.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Punktsymmetrie zum Ursprung lässt nur ungerade Potenzen übrig, Achsensymmetrie nur gerade. „Berührt im Ursprung“ heißt f(0) = 0 und f′(0) = 0 — also fallen d und c weg.
A8
Steckbrief mit Wendepunkt
AFB III
Der Graph einer Funktion dritten Grades hat den Wendepunkt W(2|1) mit der Wendetangenten-Steigung −3 und schneidet die y-Achse bei 5.
Ansatz: Ein Wendepunkt mit Tangentensteigung liefert drei Bedingungen: f(2) = 1, f′(2) = −3 und f″(2) = 0.
Zwischenschritt: Aus f″(2) = 0 folgt b = −6a. Setze das in die beiden anderen Gleichungen ein — c bleibt als zweite Unbekannte.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
d =
a =
b =
y-Koordinate des Tiefpunkts
d = 5 aus f(0) = 5. f″(2) = 0: 12a + 2b = 0, also b = −6a. f′(2) = −3: 12a + 4b + c = −3, also c − 12a = −3. f(2) = 1: 8a + 4b + 2c + 5 = 1, also c − 8a = −2. Daraus a = 0,25, b = −1,5, c = 0: f(x) = 0,25x³ − 1,5x² + 5. f′(x) = 0,75x(x − 4) = 0 bei x = 4, f(4) = 16 − 24 + 5 = −3, also T(4|−3).
A9
Fehlersuche im Heft
AFB III
Aufgabe: Grad 3, Hochpunkt H(0|4), Wendestelle bei x = 1, Nullstelle bei x = 2. Drei Zeilen der Lösung sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
In Klausuren am häufigsten: Der Extrempunkt wird nur einmal gezählt. Jeder Extrempunkt mit Koordinaten liefert zwei Gleichungen. Der fertige Term lautet f(x) = x³ − 3x² + 4.
A10
Trickaufgabe: Wie viele Gleichungen wirklich?
AFB III
Über den Graphen einer Funktion dritten Grades ist bekannt: „Er geht durch den Ursprung, schneidet die y-Achse bei 0, hat bei x = 0 eine Nullstelle und im Ursprung einen Tiefpunkt.“ Wie viele verschiedene Gleichungen für a, b, c, d liefern diese Angaben?
Ansatz: Übersetze jede Angabe einzeln in eine Gleichung und schreibe sie untereinander.
Aussortieren: Streiche alle Gleichungen, die doppelt vorkommen.
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 Gleichungen6 Gleichungen
Durch den Ursprung, y-Achsenabschnitt 0 und Nullstelle bei 0 sagen dreimal dasselbe: f(0) = 0. Der Tiefpunkt bringt f(0) = 0 noch einmal und dazu f′(0) = 0. Es bleiben nur 2 Gleichungen (d = 0, c = 0) — für einen eindeutigen Term fehlen noch zwei.
