Funktionsterme ermitteln

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion, deren Graph vorgegebene Eigenschaften hat. Der Weg dorthin ist immer derselbe.

• 1 · Ansatz:Grad wählen, allgemeinen Term und nötige Ableitungen notieren.
• 2 · Bedingungen:jede Eigenschaft als Gleichung, z. B. \(f(2)=4\) und \(f'(2)=0\).
• 3 · LGS:Ansatz einsetzen → lineare Gleichungen I, II, … in \(a,b,c,d\).
• 4 · Lösen:von Hand mit dem Gauß-Verfahren oder mit GTR bzw. CAS.
• 5 · Term angeben:die Lösung in den Ansatz einsetzen.

Grad 3, Tiefpunkt im Ursprung \({O(0\mid 0)}\), Hochpunkt \({H(2\mid 4)}\).

Ein Term ist erst fertig, wenn er alle Bedingungen erfüllt und zur Situation passt.

• Probe:\(f(0)=0\), \(f'(0)=0\), \(f(2)=-8+12=4\), \(f'(2)=-12+12=0\) — alle vier erfüllt.
• Art prüfen:\(f'(x_0)=0\) heißt nur „waagerechte Tangente“. Mit \(f''(x)=-6x+6\): \(f''(2)=-6<0\) → Hochpunkt, \(f''(0)=6>0\) → Tiefpunkt.
• Sachkontext:Der Term beschreibt die Situation nur in einem passenden Bereich, z. B. zwischen den Fußpunkten eines Bogens.
• Modellgüte:Der Graph geht exakt durch die Messpunkte — ob er dazwischen passt, zeigt erst der Vergleich.

Ziehe das Messkreuz auf den linken Fußpunkt, den Scheitel und den rechten Fußpunkt der Bogen-Unterkante und trage jeden Punkt ein (Tastatur: Pfeiltasten 1 m, mit Umschalt 0,1 m, Enter trägt ein). „Funktion bestimmen“ legt dann die Parabel durch die drei Messpunkte über das Bild.

Halte fest: Drei Messpunkte legen eine Parabel eindeutig fest. Wie gut sie den Bogen dazwischen trifft, zeigt erst die Abweichung — beim Brückenbogen fast perfekt, beim runden Tunnelportal deutlich daneben.