Eine Vase aus der Töpfer-AG
AFB I–IIIn der Töpfer-AG entsteht eine \(20\,\text{cm}\) hohe Vase. Ihr Profil wird durch eine Funktion dritten Grades \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) beschrieben: \(x\) ist die Höhe über dem Boden in cm, \(f(x)\) der Radius der Vase in dieser Höhe in cm (\(0\le x\le20\)).
Der Boden hat einen Radius von \(4\,\text{cm}\). In \(5\,\text{cm}\) Höhe ist die Vase mit einem Radius von \(6\,\text{cm}\) am bauchigsten, der obere Rand hat ebenfalls einen Radius von \(6\,\text{cm}\).
- Nennen Sie die vier Bedingungen, die sich aus der Beschreibung ergeben.
- Bestimmen Sie den Funktionsterm von \(f\).
- Weisen Sie nach, dass die Vase in \(5\,\text{cm}\) Höhe tatsächlich am bauchigsten ist und in \(15\,\text{cm}\) Höhe ihre engste Stelle oberhalb des Bauchs hat.
- Für einen Blumenstrauß muss die engste Stelle einen Durchmesser von mindestens \(7\,\text{cm}\) haben, und der Rand soll nicht breiter sein als der Bauch. Überprüfen Sie, ob die Vase beide Vorgaben erfüllt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f(0)=4\) (Boden), \(f(5)=6\) und \(f'(5)=0\) (bauchigste Stelle), \(f(20)=6\) (Rand).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\): \(\text{I: } d=4\), \(\text{II: } 125a+25b+5c=2\), \(\text{III: } 75a+10b+c=0\), \(\text{IV: } 8000a+400b+20c=2\).
Lösung (z. B. GTR: MENU › Gleichung › F1 (SIMUL) › F2, Zeilen 125 25 5 2, 75 10 1 0, 8000 400 20 2): \(a=0{,}004\), \(b=-0{,}12\), \(c=0{,}9\).
\(f(x)=0{,}004x^3-0{,}12x^2+0{,}9x+4\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f'(x)=0{,}012x^2-0{,}24x+0{,}9=0 \;\Leftrightarrow\; x^2-20x+75=0 \;\Rightarrow\; x=5\) oder \(x=15\).
\(f''(x)=0{,}024x-0{,}24\): \(f''(5)=-0{,}12<0\) → Hochpunkt \(H(5\mid6)\), \(f''(15)=0{,}12>0\) → Tiefpunkt \(T(15\mid4)\), denn \(f(15)=13{,}5-27+13{,}5+4=4\).
In \(5\,\text{cm}\) Höhe ist die Vase also am bauchigsten (Radius \(6\,\text{cm}\)), in \(15\,\text{cm}\) Höhe am engsten (Radius \(4\,\text{cm}\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Engste Stelle: Durchmesser \(2\cdot4=8\,\text{cm}\ge7\,\text{cm}\) ✓.
Rand: \(f(20)=32-48+18+4=6\) — genauso breit wie der Bauch, also nicht breiter ✓. Da \(H\) der einzige Hochpunkt ist und \(f(0)=4\), wird der Radius \(6\,\text{cm}\) nirgends überschritten.
Die Vase erfüllt beide Vorgaben.
Lärmschutzwall an der Bahnstrecke
AFB II–IIIEntlang einer Bahnstrecke soll ein Lärmschutzwall aus Erde aufgeschüttet werden. Der erste Entwurf sieht einen \(4\,\text{m}\) hohen Wall mit einer Fußbreite von \(8\,\text{m}\) vor. Der Querschnitt ist symmetrisch, hat in der Mitte seinen Kamm und läuft an beiden Füßen waagerecht ins Gelände aus.
Im Koordinatensystem liegt der Kamm auf der y-Achse, die Füße liegen bei \(x=-4\) und \(x=4\) (Angaben in m). Der Querschnitt soll durch eine ganzrationale Funktion vierten Grades beschrieben werden. Die Bahn verlangt aus Standsicherheitsgründen, dass die Böschung an keiner Stelle steiler als \(1:1{,}5\) ist — also höchstens \(1\,\text{m}\) Höhenunterschied auf \(1{,}5\,\text{m}\) waagerechter Strecke.
- Begründen Sie, dass der Ansatz \(f(x)=ax^4+bx^2+c\) genügt und dass eine Funktion zweiten Grades nicht ausreicht.
- Leiten Sie aus den Angaben den Funktionsterm \(f(x)=\tfrac{1}{64}x^4-\tfrac12x^2+4\) her.
- Zeigen Sie, dass die Böschung des Entwurfs an der steilsten Stelle etwa \(57^\circ\) steil ist.
- Entwickeln Sie einen geänderten Querschnitt mit gleicher Höhe, der die Vorgabe der Bahn erfüllt, und geben Sie die dafür mindestens nötige Fußbreite an.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Querschnitt ist achsensymmetrisch zur y-Achse, also kommen nur gerade Potenzen vor: \(f(x)=ax^4+bx^2+c\).
Der Graph hat drei Stellen mit waagerechter Tangente (Kamm und beide Füße), \(f'\) braucht also drei Nullstellen und muss mindestens Grad 3 haben — \(f\) mindestens Grad 4. Eine Parabel hat nur einen Scheitel und kann nicht an beiden Füßen waagerecht auslaufen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f'(x)=4ax^3+2bx\). Bedingungen: \(f(0)=4\), \(f(4)=0\), \(f'(4)=0\). Wegen der Symmetrie gelten die Bedingungen bei \(x=-4\) dann automatisch, \(f'(0)=0\) ebenfalls.
\(\text{I: } c=4\), \(\text{II: } 256a+16b+4=0\), \(\text{III: } 256a+8b=0\). II − III: \(8b=-4\Rightarrow b=-\tfrac12\); dann \(256a=4\Rightarrow a=\tfrac1{64}\).
Also \(f(x)=\tfrac1{64}x^4-\tfrac12x^2+4\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f'(x)=\tfrac1{16}x^3-x\), \(f''(x)=\tfrac3{16}x^2-1=0\Rightarrow x=\pm\tfrac{4}{\sqrt3}\approx\pm2{,}31\).
\(f'\left(\tfrac4{\sqrt3}\right)=\tfrac4{\sqrt3}\left(\tfrac{1}{3}-1\right)=-\tfrac{8}{3\sqrt3}\approx-1{,}54\) (Vorzeichenwechsel von \(f''\): steilste Stelle).
\(\tan\alpha=1{,}54\Rightarrow\alpha\approx57{,}0^\circ\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Vorgabe \(1:1{,}5\) heißt \(|f'(x)|\le\tfrac23\), also ein Winkel von höchstens etwa \(33{,}7^\circ\). Der Entwurf mit \(1{,}54\) verletzt sie deutlich.
Weg 1 (Streckung): Zieht man den Querschnitt bei gleicher Höhe um den Faktor \(k\) in die Breite, werden alle Steigungen durch \(k\) geteilt. Aus \(\tfrac{1{,}54}{k}\le\tfrac23\) folgt \(k\ge2{,}31\), also Füße bei \(\pm9{,}24\,\text{m}\).
Weg 2 (allgemein): Mit Füßen bei \(\pm w\) liefern dieselben Bedingungen \(f_w(x)=\tfrac{4}{w^4}(x^2-w^2)^2\), die größte Steigung ist \(\tfrac{32}{3\sqrt3\,w}\approx\tfrac{6{,}16}{w}\le\tfrac23\Rightarrow w\ge9{,}24\).
Ergebnis: z. B. \(f(x)=\tfrac{4}{9{,}24^4}(x^2-9{,}24^2)^2\); die Fußbreite muss mindestens rund \(18{,}5\,\text{m}\) betragen statt \(8\,\text{m}\). Vollständig ist eine Antwort, die das Kriterium als Steigungsbedingung formuliert, einen Weg darstellt und die Mindestbreite angibt.