Grad wählen, LGS aufstellen: Übungen – Mathe Grundkurs

A1

Wie viele Unbekannte, wie viele Bedingungen?

AFB I

Welche Aussagen über Ansatz und Anzahl der Bedingungen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Ein Tiefpunkt steckt in zwei Gleichungen: f(2) = −1 und f′(2) = 0. Eine Parabel hat drei Unbekannte, zwei Punkte reichen also nicht. Und f′(0) = 0 ist im symmetrischen Ansatz schon eingebaut — eingesetzt ergibt sich nur 0 = 0. Grad 5 punktsymmetrisch: f(x) = ax⁵ + bx³ + cx.

Strategie: Zähle die Koeffizienten im Ansatz: Grad n bedeutet n + 1 Unbekannte.

Ansatz: Frage dich bei jeder Eigenschaft: Wie viele Gleichungen entstehen — und ist eine davon schon im Ansatz enthalten?

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen zum Einsetzen in den Ansatz f(x) = ax³ + bx² + cx + d bzw. in einen symmetrischen Ansatz — rechne im Kopf nach.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Merke: Zuerst f, f′ und f″ notieren, dann den x-Wert in Klammern in die passende Funktion einsetzen. Die y-Angabe bzw. die Steigung steht rechts vom Gleichheitszeichen.

Strategie: Setze die Zahl in Klammern ein und rechne jede Potenz einzeln aus.

Ansatz: Prüfe bei jeder Aussage zuerst, ob f, f′ oder f″ gemeint ist: f′(x) = 3ax² + 2bx + c, f″(x) = 6ax + 2b.

A3

Vom Steckbrief zum LGS

AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein Ansatz vom Grad 3 hat vier unbekannte . Jede Bedingung wird durch Einsetzen zu einer Gleichung in a, b, c und d. Nummeriert man die Gleichungen mit I, II, III, IV, entsteht ein lineares . Ein Hochpunkt liefert Gleichungen: eine für den Punkt und eine mit der ersten .

„quadratischen“ ist der Ablenker: Im Ansatz steht zwar x², aber x wird durch eine Zahl ersetzt. Die Unbekannten a, b, c, d kommen nur in der ersten Potenz vor — deshalb ist das Gleichungssystem linear.

Strategie: Lies den Text einmal ganz, bevor du ein Wort einsetzt — die Grammatik verrät dir einige Lücken.

Ansatz: Nach dem Einsetzen einer Zahl für x: In welcher Potenz stehen a, b, c, d noch da?

A4

Wie viele Gleichungen liefert das?

AFB II

Sortiere die Angaben aus verschiedenen Steckbriefen einer Funktion vom Grad 3 danach, wie viele neue Gleichungen sie für das LGS liefern.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1eine Gleichung

2zwei Gleichungen

3keine neue Gleichung

„Berührt die x-Achse“ bedeutet f(3) = 0 und f′(3) = 0 — wie ein Extrempunkt auf der x-Achse. Keine neue Gleichung liefern Angaben, die schon verwendet wurden oder im Ansatz stecken: Bei ax³ + cx ist f(0) = 0 automatisch erfüllt.

Strategie: Übersetze jede Karte zuerst in Bedingungen wie f(…) = … oder f′(…) = … und zähle sie.

Ansatz: Extrempunkt: f und f′. Wendepunkt: f und f″. Berühren der x-Achse: Nullstelle mit waagerechter Tangente.

A5

Trickaufgabe: Zählen mit Symmetrie

AFB II

Ein Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse und wird mit f(x) = ax⁴ + bx² + c beschrieben. Er hat den Tiefpunkt T(0 | −2) und den Hochpunkt H(1 | −1). Wie viele Gleichungen hat das LGS, wenn man jede Zeile der Form 0 = 0 weglässt?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Nicht vier: T(0 | −2) liefert c = −2, aber f′(0) = 4a·0³ + 2b·0 = 0 ist immer erfüllt. H(1 | −1) liefert a + b + c = −1 und 4a + 2b = 0. Drei Gleichungen für drei Unbekannte — Lösung f(x) = −x⁴ + 2x² − 2. Der Hochpunkt bei x = −1 ist durch die Symmetrie gratis dabei.

Strategie: Nicht vorschnell „zwei Punkte mal zwei Gleichungen“ rechnen — setze jede Bedingung wirklich in den Ansatz ein.

Ansatz: Berechne f′(x) = 4ax³ + 2bx und setze x = 0 ein. Was bleibt übrig?

A6

Der Weg zum LGS

AFB II

Bringe die Arbeitsschritte beim Aufstellen eines LGS aus einem Steckbrief in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Bedingungen zählen und den Grad des Ansatzes festlegen

2Ansatz f(x) sowie f′(x) und f″(x) notieren

3Jede Eigenschaft als Bedingung schreiben, z. B. f(2) = 3 oder f′(−1) = 0

4x-Wert in die passende Funktion einsetzen und ausrechnen

5Gleichungen mit I, II, III, IV nummerieren und untereinander ordnen

Am häufigsten verrutscht der Grad: Er steht am Anfang, denn ohne Ansatz gibt es keine Ableitungen, in die man einsetzen könnte. Beim Ordnen stehen a, b, c, d jeweils untereinander — das erleichtert später das Lösen.

Strategie: Frage bei jedem Schritt: Was muss vorher schon da sein, damit ich ihn ausführen kann?

Ansatz: Ohne Ansatz keine Ableitung, ohne Ableitung keine Steigungsbedingung — und nummeriert wird am Schluss.

A7

LGS Zeile für Zeile

AFB II

Gesucht ist eine Funktion f vom Grad 3. Ihr Graph geht durch den Ursprung, hat den Tiefpunkt T(2 | −4) und an der Stelle x = −1 die Steigung 9. Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Aus f(0) = 0 folgt d =
Faktor vor c in der Gleichung aus f(2) = −4
Faktor vor b in der Gleichung aus f′(−1) = 9
Zieht man die Gleichung aus f′(−1) = 9 von der aus f′(2) = 0 ab, entsteht 9a + 6b = □. Welche Zahl steht rechts?

Das LGS lautet I: d = 0, II: 8a + 4b + 2c + d = −4, III: 12a + 4b + c = 0, IV: 3a − 2b + c = 9. III − IV lässt c verschwinden: 9a + 6b = −9. Genau so beginnt später das systematische Lösen. (Lösung: f(x) = x³ − 3x².)

Strategie: Notiere zuerst f′(x) = 3ax² + 2bx + c und schreibe alle vier Bedingungen auf.

Ansatz: f′(−1) = 3a·(−1)² + 2b·(−1) + c. Für den letzten Schritt beide Steigungsgleichungen untereinander schreiben und spaltenweise subtrahieren.

A8

Mix: Symmetrie spart Unbekannte

AFB III

Wiederholung aus 1.1.2 trifft Ansatzwahl: Ordne jedem Steckbrief den kleinsten passenden Ansatz zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Achsensymmetrie lässt nur gerade, Punktsymmetrie nur ungerade Exponenten zu. Ein Graph vom Grad 4 enthält x⁴ — der ist nie punktsymmetrisch zum Ursprung. „Berührt die x-Achse im Ursprung“ heißt f(0) = 0 und f′(0) = 0, also d = 0 und c = 0.

Strategie: Welche Exponenten erlaubt die Symmetrie? Und welche Koeffizienten werden durch Bedingungen im Ursprung sofort 0?

Ansatz: f(0) = d und f′(0) = c. Ein Grad-4-Ansatz enthält immer x⁴ — passt das zu Punktsymmetrie?

A9

Fehlersuche im Heft

AFB III

Steckbrief: Der Graph einer Funktion vom Grad 3 hat den Hochpunkt H(1 | 5), den Wendepunkt W(2 | 3) und geht durch den Punkt (1 | 5). Sechs Zeilen aus einem Heft — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Der teuerste Fehler ist Zeile 5: Eine doppelte Angabe erhöht den Grad nicht. Wer Grad 4 ansetzt, hat fünf Unbekannte, aber nur vier echte Gleichungen — dann ist die Funktion nicht mehr eindeutig. (Richtige Lösung: f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1.)

Strategie: Prüfe jede Zeile einzeln: Richtige Funktion (f, f′, f″)? Richtig eingesetzt? Neue Information?

Ansatz: Vergleiche die Punkte im Steckbrief miteinander — kommt einer doppelt vor?

A10

Gleichungen zählen ohne Rechnen

AFB III

Wie viele verschiedene Gleichungen liefert jeder Steckbrief für eine Funktion vom Grad 3 bzw. für den angegebenen Ansatz? Schätze für jede Zeile ein, was herauskommt — ohne das LGS aufzuschreiben.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = 1 Gleichung, 2 = 2 Gleichungen, 3 = 3 Gleichungen, 4 = 4 Gleichungen, 5 = 5 Gleichungen. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = 1 Gleichung5 = 5 Gleichungen

Tiefpunkt T(−2 | 1); außerdem geht der Graph durch (−2 | 1)

Hochpunkt H(−1 | 2) und Tiefpunkt T(1 | −2)

Sattelpunkt im Ursprung, Punkt P(1 | 2) und Steigung 3 bei x = 1

Graph berührt die x-Achse bei x = 2 und schneidet sie bei x = −1

Ansatz f(x) = ax³ + cx; Graph durch P(1 | 2) und Q(−1 | −2)

Doppelte Angaben zählen nicht, Symmetrie liefert Q gratis zu P. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente und bringt drei Gleichungen: f(0) = 0, f′(0) = 0, f″(0) = 0. Fünf Gleichungen für vier Unbekannte sind übrigens zu viele — ein solcher Steckbrief kann sich widersprechen.

Strategie: Übersetze jede Angabe im Kopf in f-, f′- und f″-Bedingungen, streiche Doppelte und alles, was der Ansatz schon erfüllt.

Ansatz: Sattelpunkt = Punkt + waagerechte Tangente + Wendestelle. Beim Ansatz ax³ + cx gilt f(−1) = −f(1).

Grad wählen, LGS aufstellen

Übungsaufgaben