Grad wählen, LGS aufstellen

Ein Ansatz vom Grad \(n\) hat \(n+1\) unbekannte Koeffizienten. Um sie alle festzulegen, braucht man genauso viele Bedingungen, die sich nicht gegenseitig wiederholen.

• Grad 2:\(f(x)=ax^2+bx+c\) — drei Unbekannte, drei Bedingungen.
• Grad 3:\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) — vier Unbekannte, vier Bedingungen.
• Umgekehrt:Die Zahl der Bedingungen bestimmt den Grad: vier Bedingungen → Ansatz vom Grad 3.
• Unabhängig:Jede Bedingung muss eine neue Information bringen. „Hochpunkt \(H(1\mid 3)\)“ und „Graph durch \((1\mid 3)\)“ liefern \(f(1)=3\) doppelt.
• Symmetrie:spart Koeffizienten: achsensymmetrisch Grad 4 → \(f(x)=ax^4+bx^2+c\) (drei statt fünf); punktsymmetrisch Grad 3 → \(f(x)=ax^3+bx\).

• Notieren:Ansatz und Ableitungen: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\).
• Einsetzen:\(x\)-Wert in die passende Funktion, Ergebnis rechts — es entsteht eine lineare Gleichung in \(a,b,c,d\).
• Nummerieren:Gleichungen mit I, II, III, IV untereinander — das ist das lineare Gleichungssystem (LGS).

Wähle den Grad des Ansatzes und baue das LGS aus den Bausteinen des Steckbriefs. Die Waage vergleicht Unbekannte und Gleichungen — erst wenn sie im Gleichgewicht ist und keine Zeile doppelt ist, liegt genau eine Funktion fest.

Halte fest: Ein Extrem- oder Wendepunkt liefert zwei Gleichungen, ein Punkt oder eine Steigung eine. Doppelte Informationen zählen nicht — und zu viele Bedingungen führen leicht zu einem Widerspruch.