Ein Wall gegen den Verkehrslärm
AFB I–IIZwischen einer Landstraße und einem Wohngebiet soll ein Lärmschutzwall aus Erde aufgeschüttet werden. Im Querschnitt beginnt der Wall am Straßenrand im Punkt \(A(0\mid 0)\) und endet auf der Wohnseite im Punkt \(B(16\mid 0)\) (Angaben in m). Die Wallkrone \(K(10\mid 4{,}5)\) liegt nicht in der Mitte: Zur Straße hin steigt der Wall flach an, zur Wohnseite fällt er steil ab. Der Querschnitt soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion \(f\) beschrieben werden.
- Geben Sie vier Bedingungen an, die sich aus der Beschreibung und der Skizze für \(f\) ergeben.
- Begründen Sie, dass ein Ansatz vom Grad 3 geeignet ist und eine Parabel nicht ausreicht.
- Stellen Sie mit dem Ansatz \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) das lineare Gleichungssystem für \(a,\ b,\ c,\ d\) auf.
- Weisen Sie nach, dass \(f(x)=-0{,}005x^3+0{,}055x^2+0{,}4x\) alle vier Bedingungen erfüllt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(f(0)=0\) (Punkt \(A\)), \(f(16)=0\) (Punkt \(B\)), \(f(10)=4{,}5\) (Krone liegt auf dem Graphen), \(f'(10)=0\) (waagerechte Tangente im Hochpunkt).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Vier voneinander unabhängige Bedingungen legen genau die vier Koeffizienten eines Ansatzes vom Grad 3 fest. Eine Parabel hat nur drei Koeffizienten; außerdem ist sie achsensymmetrisch zu ihrem Scheitel. Durch \(A\) und \(B\) läge der Scheitel bei \(x=8\) — die Krone liegt aber bei \(x=10\). Die unsymmetrische Form verlangt Grad 3.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\)
I: \(d=0\)
II: \(4096a+256b+16c+d=0\)
III: \(1000a+100b+10c+d=4{,}5\)
IV: \(300a+20b+c=0\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(f(0)=0\) ✓; \(f(16)=-0{,}005\cdot 4096+0{,}055\cdot 256+0{,}4\cdot 16=-20{,}48+14{,}08+6{,}4=0\) ✓;
\(f(10)=-5+5{,}5+4=4{,}5\) ✓; \(f'(10)=-0{,}015\cdot 100+0{,}11\cdot 10+0{,}4=-1{,}5+1{,}1+0{,}4=0\) ✓.
Alle vier Bedingungen sind erfüllt. (Dass \(K\) wirklich ein Hochpunkt ist, zeigt \(f''(10)=-0{,}09\cdot 10+0{,}11=-0{,}79<0\).)
Sonnenstrom vom Schuldach
AFB II–IIIDie Photovoltaikanlage auf dem Dach einer Schule liefert an einem wolkenlosen Oktobertag ab 8:00 Uhr Strom. Die Leistung steigt zunächst ganz flach an, erreicht um 13:00 Uhr ihr Maximum von \(6{,}25\,\mathrm{kW}\) und fällt bis 18:00 Uhr wieder auf \(0\,\mathrm{kW}\); dort läuft die Kurve wieder waagerecht aus. Vormittags und nachmittags verläuft die Leistung spiegelbildlich zur Mittagszeit.
Die Leistung wird durch eine Funktion \(P\) beschrieben; dabei ist \(x\) die Zeit in Stunden nach 13:00 Uhr (also \(x=-5\) um 8:00 Uhr) und \(P(x)\) die Leistung in kW. Der Hausmeister hat um 10:00 Uhr am Wechselrichter eine Leistung von \(4\,\mathrm{kW}\) abgelesen.
- Erläutern Sie, warum der Ansatz \(P(x)=ax^4+bx^2+c\) zur Beschreibung geeignet ist und warum dafür drei Gleichungen genügen, obwohl die Beschreibung mehr Eigenschaften nennt.
- Ermitteln Sie \(P(x)\).
- Beurteilen Sie den Vorschlag, den abgelesenen Messwert als zusätzliche Bedingung in die Kurvenanpassung aufzunehmen. Gehen Sie dabei auf den dann nötigen Ansatz ein.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Leistung verläuft spiegelbildlich zu 13:00 Uhr, also ist der Graph achsensymmetrisch zur Geraden \(x=0\). Ein symmetrischer Ansatz enthält nur gerade Exponenten. Für ein Maximum in der Mitte und zwei waagerechte Enden braucht der Graph die Form einer „Glocke“ mit drei waagerechten Stellen — das leistet erst Grad 4 (eine Parabel hat nur eine waagerechte Stelle).
Unbekannt sind \(a,\ b,\ c\), also genügen drei Gleichungen: \(P(0)=6{,}25\), \(P(5)=0\), \(P'(5)=0\). Die übrigen Angaben sind darin enthalten: \(P'(0)=0\) gilt im symmetrischen Ansatz automatisch, \(P(-5)=0\) und \(P'(-5)=0\) folgen aus der Symmetrie.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P'(x)=4ax^3+2bx\)
I: \(c=6{,}25\)
II: \(625a+25b+c=0\)
III: \(500a+10b=0\)
Aus III: \(b=-50a\). In II mit \(c=6{,}25\): \(625a-1250a+6{,}25=0\Rightarrow a=0{,}01\), \(b=-0{,}5\).
\(P(x)=0{,}01x^4-0{,}5x^2+6{,}25=0{,}01\,(x^2-25)^2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Abgleich: Das Modell liefert um 10:00 Uhr \(P(-3)=0{,}81-4{,}5+6{,}25=2{,}56\,\mathrm{kW}\) — der Messwert liegt um \(1{,}44\,\mathrm{kW}\) darüber. Das Modell unterschätzt den Vormittag deutlich.
Ansatz: Mit vier Bedingungen (\(P(0)=6{,}25\), \(P(5)=0\), \(P'(5)=0\), \(P(-3)=4\)) braucht ein symmetrischer Ansatz vier Unbekannte: \(P(x)=ax^6+bx^4+cx^2+d\), also Grad 6. Löst man das LGS (z. B. mit einem digitalen Werkzeug), erhält man \(P(x)=\tfrac{1}{1600}x^6-\tfrac{17}{800}x^4-\tfrac{7}{64}x^2+6{,}25\); diese Kurve fällt zwischen 13 und 18 Uhr ohne Zwischenbuckel auf 0 — sie ist also brauchbar.
Aber: Durch die Symmetrie wird automatisch auch um 16:00 Uhr \(4\,\mathrm{kW}\) vorausgesetzt, ohne dass das gemessen wurde. Ein einzelner, am Display abgelesener Wert kann zufällig sein (z. B. kurzzeitig besonders klare Luft).
Urteil (Beispiel): Der Vorschlag ist mathematisch umsetzbar und macht das Modell am Vormittag genauer; bevor man den Grad auf 6 erhöht, sollte man den Wert aber durch weitere Messungen (auch am Nachmittag) absichern. Vollständig ist eine Antwort, die den Abgleich rechnet, den Ansatz mit vier Unbekannten nennt und mindestens ein Argument für und eines gegen den Vorschlag abwägt.