Von der Änderung zum Bestand
Die Änderungsrate sagt, wie schnell sich ein Bestand ändert — die Fläche unter ihrem Graphen, wie stark er sich insgesamt ändert.
Rate und Bestand grafisch
\( r(t)=B'(t) \). \( r>0 \): \( B \) steigt; \( r<0 \): \( B \) fällt. VZW von \( r \) \( +\to- \): Maximum von \( B \); Extremstelle von \( r \): Wendestelle von \( B \).
Bestand rekonstruieren
Bei konstanter Rate ist die Änderung eine Rechteckfläche, bei linearer ein Dreieck oder Trapez. Flächen unter der \( t \)-Achse zählen negativ.
Produktsummen
Intervall in \( n \) Streifen der Breite \( \Delta x=\tfrac{b-a}{n} \) teilen. Steigt \( f \), liefern linke Stützstellen \( U_n \), rechte \( O_n \) — bei fallendem \( f \) umgekehrt.
Integralregeln
Integral = Summe orientierter Flächen. \( \int_a^a f=0 \), Intervalle aneinanderhängen, beim Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen.
\( \int_b^a f=-\int_a^b f \)
Integrand \( f \), Grenzen \( a \) und \( b \), Integrationsvariable \( x \). Beispiel \( f(x)=x^2 \) auf \( [0;2] \): \( U_4=1{,}75 \), \( O_4=3{,}75 \), Grenzwert \( \tfrac83 \).
Höhe nicht ablesbar
Aus dem Ratengraphen allein kennt man nur Änderungen. Den Bestand selbst liefert erst der Anfangsbestand \( B(0) \).
Stammfunktionen
Eine Stammfunktion macht das Ableiten rückgängig — geprüft wird immer durch Ableiten.
Stammfunktion
\( F \) heißt Stammfunktion von \( f \), wenn \( F'=f \). Mit \( F \) ist auch \( F+C \) eine; die Graphen sind in \( y \)-Richtung verschoben.
Potenzregel
Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen. Gilt auch für negative und gebrochene Exponenten: \( \tfrac1{x^2}=x^{-2}\to-\tfrac1x \), \( \sqrt x=x^{1/2}\to\tfrac23x^{3/2} \).
Summen- und Faktorregel
Summandenweise integrieren, Faktoren bleiben stehen, eine Konstante \( k \) wird zu \( kx \). Beispiel: \( 6x^2-4x+1\to2x^3-2x^2+x \).
\( e^x \), \( \sin x \), \( \cos x \)
Die \( e \)-Funktion bleibt erhalten; beim Sinus-Kosinus-Kreislauf läuft man rückwärts: \( \sin\to-\cos \), \( \cos\to\sin \).
\( \sin x\to-\cos x \)
\( \cos x\to\sin x \)
Durch die innere Ableitung \( a \) teilen: \( e^{2x}\to\tfrac12e^{2x} \), \( \cos(3x)\to\tfrac13\sin(3x) \). Probe mit der Kettenregel: \( \big(\tfrac12e^{2x}\big)'=e^{2x} \).
Immer die Probe
Ein Zwischenschritt „\( F'=f \)?“ kostet zehn Sekunden und findet fast jeden Fehler bei Exponent, Vorzeichen oder innerer Ableitung.
Hauptsatz und Flächen
Mit einer Stammfunktion wird aus dem Grenzwert von Streifensummen eine einzige Differenz.
Integralfunktion
\( I_a(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm dt \). Ein schmaler Streifen hat etwa die Fläche \( f(x)\cdot h \), daher \( I_a'=f \): Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion.
Fläche mit der \( x \)-Achse
Nullstellen im Intervall bestimmen, Teilintegrale getrennt berechnen, Beträge addieren. Beispiel \( x^3-4x \) auf \( [0;3] \): Integral \( 2{,}25 \), Fläche \( 10{,}25 \).
Fläche zwischen zwei Graphen
Differenzfunktion \( d=f-g \) bilden, Schnittstellen als Grenzen; die Lage zur \( x \)-Achse spielt keine Rolle. Wechselt \( d \) das Vorzeichen, abschnittsweise mit Beträgen.
Sachkontext
Das Integral der Rate ist die Gesamtänderung; Einheit = Einheit der Rate · Einheit der Zeit. Gesamtänderung \( 0 \) heißt nicht, dass nichts geflossen ist.
Mit dem GTR (fx-CG50)
RUN-MAT: OPTN → F4 (CALC) → F4 (∫dx). GRAPH: SHIFT F5 (G-Solv) → F6 (▷) → F3 (∫dx) → F1 (∫dx); mit F2 (ROOT) zwischen Nullstellen auch den Flächeninhalt.
Mit dem CAS (TI-Nspire)
Integral über menu → 4: Analysis → 3: Integral; gesuchte Grenze mit solve, z. B. \( \int_0^s r(t)\,\mathrm dt=300 \) nach \( s \) lösen.
solve(∫(r(t),t,0,s)=300,s)\( F \) ist eine beliebige Stammfunktion von \( f \), \( f \) stetig auf \( [a;b] \). Beispiel: \( \int_1^3(2x+1)\,\mathrm dx=\big[x^2+x\big]_1^3=12-2=10 \).
Regel 1 — Integral oder Fläche?
Wird nach einem Flächeninhalt gefragt, immer zuerst nach Nullstellen bzw. Schnittstellen im Intervall suchen.
Regel 2 — Deuten mit Einheit
Im Sachkontext gehört zum Integral ein Satz mit Einheit: „In den ersten 6 Stunden fließen etwa \( 384\,\mathrm{m^3} \) Wasser zu.“