Von der Änderung zum Bestand: Übungen AFB I – Mathe Grundkurs

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben quer durch das Kapitel — bunt gemischt statt nach Unterkapiteln sortiert: Graphen lesen, Rechteckflächen, Unter- und Obersumme, Stammfunktionen und Hauptsatz. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur zur Integralrechnung.

Extremstellen des Bestands am Ratengraphen

AFB I

Der Graph zeigt die Zuflussrate \(r\) eines Wasserbeckens. Entnehmen Sie dem Graphen, zu welchen Zeitpunkten im Intervall \(]0;7[\) die Wassermenge \(B\) ein lokales Minimum bzw. ein lokales Maximum hat.

Minimum bei \(t\) = h

Maximum bei \(t\) = h

Rate und Bestand: \(r=B'\). Wo \(r\) das Vorzeichen wechselt, hat \(B\) eine Extremstelle.

Bei \(t=1\) wechselt \(r\) von \(-\) nach \(+\), bei \(t=5\) von \(+\) nach \(-\). Welcher Wechsel gehört zu einem Maximum?

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Bis \(t=1\) fließt Wasser ab (\(r<0\)), danach zu: Minimum bei \(t=1\). Ab \(t=5\) ist \(r<0\), der Bestand fällt wieder: Maximum bei \(t=5\). → Min. bei t = 1 h, Max. bei t = 5 h

Zuflussrate \(r(t)\) in \(\mathrm{m^3/h}\), \(t\) in h

Stammfunktion mit Potenzregel

AFB I

Gegeben ist \(f(x)=6x^2-4x+1\). Geben Sie die Stammfunktion \(F\) von \(f\) mit \(F(0)=0\) an und den Wert \(F(2)\).

\(F(2)\) =

Potenzregel: \(x^n\) hat die Stammfunktion \(\tfrac{1}{n+1}x^{n+1}\); eine Konstante \(k\) hat die Stammfunktion \(kx\).

\(F(x)=2x^3-2x^2+x+C\). Aus \(F(0)=0\) folgt \(C=0\). Setze \(x=2\) ein.

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\(F(x)=2x^3-2x^2+x\), \(F(2)=16-8+2\) = 10

Untersumme und Obersumme mit vier Streifen

AFB I

Bestimmen Sie für \(f(x)=x^2\) auf \([0;2]\) die Untersumme \(U_4\) und die Obersumme \(O_4\).

\(U_4\) =

\(O_4\) =

Streifenbreite: \(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}=0{,}5\). \(f\) steigt, also liefern die linken Stützstellen \(U_4\), die rechten \(O_4\).

\(U_4=0{,}5\cdot\big(f(0)+f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)\big)\), \(O_4=0{,}5\cdot\big(f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)+f(2)\big)\).

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\(U_4=0{,}5\cdot(0+0{,}25+1+2{,}25)=1{,}75\); \(O_4=0{,}5\cdot(0{,}25+1+2{,}25+4)=3{,}75\) → 1,75 ≤ Fläche ≤ 3,75

\(f(x)=x^2\) auf \([0;2]\), vier Streifen

Integral mit dem Hauptsatz

AFB I

Berechnen Sie \(\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,\mathrm{d}x\).

Integral =

Hauptsatz: \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\).

Eine Stammfunktion ist \(F(x)=x^2+x\). Berechne \(F(3)-F(1)\).

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\(\big[x^2+x\big]_1^3=(9+3)-(1+1)\) = 10

Regentonne mit Zu- und Abfluss

AFB I

Eine Regentonne enthält zu Beginn \(200\) L. Stellen Sie die Änderungen im Diagramm als Rechteckflächen dar und geben Sie die Wassermenge nach \(25\) und nach \(35\) Minuten an.

\(B(25)\) = L

\(B(35)\) = L

Konstante Rate: Änderung = Rate · Dauer (L/min · min = L). Flächen unter der \(t\)-Achse zählen negativ.

\(B(25)=200+12\cdot25\); danach kommt \(-15\cdot10\) dazu.

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\(B(25)=200+300=500\,\mathrm L\); \(B(35)=500-150=350\,\mathrm L\) → 500 L und 350 L

Rate \(r(t)\) in L/min, \(t\) in min

Lineare innere Funktion

AFB I

Es gilt: \(F(x)=a\cdot e^{2x}\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)=4e^{2x}\), und \(G(x)=b\cdot\sin(2x)\) ist eine Stammfunktion von \(g(x)=\cos(2x)\). Nennen Sie \(a\) und \(b\).

\(a\) =

\(b\) =

Lineare innere Funktion: \(g(mx+n)\) hat die Stammfunktion \(\tfrac1m\,G(mx+n)\) — durch die innere Ableitung teilen.

\(e^{2x}\to\tfrac12e^{2x}\), \(\cos(2x)\to\tfrac12\sin(2x)\). Den Faktor 4 mitnehmen.

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\(4\cdot\tfrac12e^{2x}=2e^{2x}\), also \(a=2\); \(\cos(2x)\to\tfrac12\sin(2x)\), also \(b=0{,}5\). Probe: \((2e^{2x})'=4e^{2x}\) ✓ → a = 2, b = 0,5

Orientierte Fläche ohne Stammfunktion

AFB I

Zeichnen Sie die Dreiecke zwischen dem Graphen von \(f(x)=x-2\) und der \(x\)-Achse auf \([0;5]\) ein und bestimmen Sie damit \(\displaystyle\int_0^5 (x-2)\,\mathrm dx\) geometrisch.

Integral =

Orientierter Flächeninhalt: Flächen oberhalb der \(x\)-Achse zählen positiv, unterhalb negativ. Dreieck: \(\tfrac12\cdot g\cdot h\).

Unter der Achse: Dreieck mit \(g=2\), \(h=2\). Über der Achse: \(g=3\), \(h=3\).

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\(-\tfrac12\cdot2\cdot2+\tfrac12\cdot3\cdot3=-2+4{,}5\) = 2,5

Orientierte Flächen: blau \(+\), rot \(-\)

Stammfunktion durch Ableiten prüfen

AFB I

\(F(x)=k\cdot x^4+3x\) soll eine Stammfunktion von \(f(x)=2x^3+3\) sein. Lösen Sie die Bedingung \(F'(x)=f(x)\) nach \(k\) auf.

\(k\) =

Stammfunktion: \(F\) ist Stammfunktion von \(f\), wenn \(F'=f\). Also ableiten und vergleichen.

\(F'(x)=4k\,x^3+3\). Koeffizientenvergleich mit \(2x^3+3\).

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\(4k=2\Rightarrow k=\tfrac12\). Probe: \(\big(\tfrac12x^4+3x\big)'=2x^3+3\) ✓ → k = 0,5

Fläche unter der x-Achse

AFB I

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von \(f(x)=x^2-4\) mit der \(x\)-Achse einschließt. (Brüche wie 32/3 sind erlaubt.)

\(A\) = FE

Fläche: zwischen den Nullstellen integrieren; liegt die Fläche unter der Achse, ist das Integral negativ — \(A\) ist sein Betrag.

Nullstellen \(\pm2\). \(\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2-4)\,\mathrm dx=\Big[\tfrac13x^3-4x\Big]_{-2}^{2}\).

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\(\Big(\tfrac83-8\Big)-\Big(-\tfrac83+8\Big)=-\tfrac{32}{3}\), also \(A=\tfrac{32}{3}\approx10{,}67\) → A = 32/3 FE

Die Fläche liegt unter der \(x\)-Achse

A10

Trickaufgabe — Fläche zwischen zwei Parabeln

AFB I

Gegeben sind \(f(x)=x^2+1\) und \(g(x)=x^2-2\). Fassen Sie zuerst \(f(x)-g(x)\) zusammen. Wie groß ist die Fläche zwischen beiden Graphen über \([0;4]\)?

\(A\) = FE

Fläche zwischen Graphen: \(A=\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm dx\), wenn \(f\ge g\).

\(f(x)-g(x)=3\) — die Differenz ist konstant. Die Fläche ist also ein „krummes Rechteck“.

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\(f-g=3\), also \(A=\displaystyle\int_0^4 3\,\mathrm dx=3\cdot4\) = 12 FE. Der Trick: Die Parabeln sind nur verschoben, das \(x^2\) fällt heraus.

Fläche zwischen \(f\) und \(g\) auf \([0;4]\)

Übung AFB I

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