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Zusammenfassung

Von der Basis e über Ketten- und Produktregel bis zum begrenzten Wachstum — das ganze Kapitel auf einer Seite.

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Die Basis e

Beim exponentiellen Wachstum ist die Wachstumsgeschwindigkeit proportional zum Bestand — und für die Basis \( e \) ist der Proportionalitätsfaktor genau 1.

Wachstumsgeschwindigkeit

Die momentane Änderungsrate \( f'(t) \) ist die Tangentensteigung. Beim exponentiellen Wachstum ist sie ein fester Anteil \( k \) des Bestands.

\( f'(t)=k\cdot f(t) \)

Die Eulersche Zahl

Genau für \( e\approx2{,}718 \) hat die Tangente in \( (0\,|\,1) \) die Steigung 1. Die natürliche Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung.

\( (e^x)'=e^x \)

Natürlicher Logarithmus

\( \ln y \) ist der Exponent, mit dem man \( e \) potenzieren muss, um \( y \) zu erhalten. Graph: an \( y=x \) gespiegelter Graph von \( e^x \).

\( e^{\ln y}=y,\ \ln(e^x)=x \)

Exponentialgleichungen

Potenz isolieren, beide Seiten logarithmieren, auflösen. \( e^{kx}=c \) hat nur für \( c>0 \) eine Lösung.

\( x=\tfrac{\ln c}{k} \)
Verdopplungs- und Halbwertszeit
\( T=\dfrac{\ln 2}{|k|} \)

Aus \( e^{kT}=2 \) bzw. \( e^{kT}=\tfrac12 \). Beispiel: \( k=0{,}4 \) pro Stunde ergibt \( T\approx1{,}73 \) h.

ln ist keine Klammer

\( \ln(200\cdot e^{0{,}4t}) \) ist nicht \( 200\cdot0{,}4t \). Erst durch 200 teilen, dann logarithmieren.

2

Ableitungsregeln

Mit Ketten- und Produktregel lassen sich alle Funktionen der Form Polynom mal e-Funktion ableiten und untersuchen.

Kettenregel (linear innen)

Äußere Ableitung an der inneren Stelle mal innere Ableitung. Der Exponent bleibt unverändert stehen.

\( \left(e^{mx+n}\right)'=m\,e^{mx+n} \)

Basis a umschreiben

Jede Basis \( a>0 \) ist eine Potenz von \( e \): \( a=e^{\ln a} \). Daraus folgt die Ableitung jeder Exponentialfunktion.

\( a^x=e^{x\ln a},\ (a^x)'=\ln a\cdot a^x \)

Produktregel

Beide Faktoren hängen von \( x \) ab: jeden einmal ableiten, den anderen stehen lassen, addieren. Dann den e-Faktor ausklammern.

\( (uv)'=u'v+uv' \)

Grenzverhalten

\( e^x \) dominiert jede Potenz: \( x^n e^{-x}\to0 \) für \( x\to\infty \), \( x^n e^{x}\to0 \) für \( x\to-\infty \).

\( e^x \) gewinnt immer
Ableitung von Polynom mal e-Faktor
\( \big(p(x)\,e^{kx}\big)'=\big(p'(x)+k\,p(x)\big)\,e^{kx} \)

Extrem- und Wendestellen: nur der Polynomteil kann null werden, weil \( e^{kx}>0 \). Beispiel: \( f(x)=x\,e^{-x} \) hat \( H(1\,|\,e^{-1}) \) und \( W(2\,|\,2e^{-2}) \).

Satz vom Nullprodukt

\( p(x)\cdot e^{v(x)}=0 \iff p(x)=0 \). Nicht durch \( x \) teilen — sonst geht die Lösung \( x=0 \) verloren.

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Wachstum modellieren

Drei Modelle unterscheiden sich darin, wovon die Änderungsrate abhängt: von nichts, vom Bestand oder vom Abstand zur Schranke.

Begrenztes Wachstum

Die Rate ist proportional zum Abstand zur Schranke \( S \). Der Graph nähert sich der Asymptote \( y=S \), erreicht sie aber nie.

\( f'(t)=k\,(S-f(t)) \)

Parameter aus zwei Punkten

Quotient der Funktionswerte bilden, dann logarithmieren. Weit auseinanderliegende Punkte liefern das stabilere Modell.

\( k=\tfrac{\ln(y_2/y_1)}{t_2-t_1} \)

Regression mit dem Rechner

fx-CG50: STAT, F2 CALC, F3 REG, F6 ▷, Exp, \( a\cdot e^{bx} \) — hier ist \( b=k \). TI-Nspire liefert \( y=a\cdot b^x \), dann \( k=\ln b \).

\( r^2 \) nahe 1

Modell bewerten

Gültigkeitsbereich angeben, mit neuen Daten prüfen, Sachlogik beachten: Gibt es eine Obergrenze?

Kreislauf: aufstellen → prüfen → anpassen
Begrenztes Wachstum mit Schranke \( S \)
\( f(t)=S-\big(S-f(0)\big)\cdot e^{-kt} \)

Beispiel Limonade: \( f(t)=24-18e^{-0{,}1t} \); nach 10 min etwa 17,4 °C, 20 °C nach etwa 15 min.

Regel 1 — Modell begründen

Linear, exponentiell oder begrenzt? Mit Daten und Sachkontext begründen: „Die Abstände zu 26 °C nehmen jeweils um denselben Faktor ab, also begrenzt.“

Regel 2 — Gerundet heißt ≈

Mit ungerundeten Werten weiterrechnen und erst am Ende runden; Ergebnisse mit Einheit und Antwortsatz im Sachkontext deuten.

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