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Übung AFB I

Ableiten, logarithmieren, ablesen: zehn Handgriffe zur e-Funktion, die in jeder Klausur sichere Punkte bringen.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: ableiten, umformen, Gleichungen mit ln lösen, Terme lesen. Das sind die sicheren Punkte im hilfsmittelfreien Teil jeder Klausur zur e-Funktion.

A1
Ableitung mit Summand
AFB I

Berechnen Sie die Steigung des Graphen von \(f(x)=3e^{x}+x^{2}\) an der Stelle \(x=0\).

Ableitung: \((e^{x})'=e^{x}\) und \((x^{2})'=2x\); Faktor und Summe wie gewohnt.
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\(f'(x)=3e^{x}+2x\), \(f'(0)=3\cdot1+0\) = 3
A2
Kettenregel an einer Stelle
AFB I

Bestimmen Sie \(f'(0{,}5)\) für \(f(x)=e^{-4x+2}\).

Kettenregel: \(\left(e^{mx+n}\right)'=m\cdot e^{mx+n}\), hier \(m=-4\).
Lösung anzeigen
\(f'(x)=-4e^{-4x+2}\), \(f'(0{,}5)=-4e^{0}\) = −4
A3
ln und e heben sich auf
AFB I

Geben Sie die Werte ohne Rechner an: a) \(\ln\left(e^{3}\right)\)   b) \(e^{\ln7}\)

Umkehrung: \(\ln(e^{x})=x\) und \(e^{\ln y}=y\) für \(y>0\).
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a) \(\ln e^{3}=3\), b) \(e^{\ln7}=7\) → 3 und 7
A4
Exponentialgleichung
AFB I

Lösen Sie die Gleichung \(e^{2x}=9\) (auf zwei Nachkommastellen).

Logarithmieren: \(2x=\ln9\), dann durch \(2\) teilen.
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\(x=\frac{\ln9}{2}=\ln3\) ≈ 1,10
A5
Basis umschreiben
AFB I

Stellen Sie \(f(x)=2\cdot1{,}5^{x}\) in der Form \(f(x)=2\cdot e^{kx}\) dar. Gesucht ist \(k\) (drei Nachkommastellen).

Umformen: \(a^{x}=e^{x\cdot\ln a}\), also \(k=\ln a\).
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\(k=\ln1{,}5\) ≈ 0,405
A6
Produktregel
AFB I

Ermitteln Sie \(f'(1)\) für \(f(x)=x\cdot e^{2x}\) (zwei Nachkommastellen).

Produktregel: \(u=x,\ u'=1,\ v=e^{2x},\ v'=2e^{2x}\).
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\(f'(x)=e^{2x}+2x\,e^{2x}=(1+2x)\,e^{2x}\), \(f'(1)=3e^{2}\) ≈ 22,17
A7
Nullstellen mit e-Faktor
AFB I

Nennen Sie die Nullstellen von \(f(x)=(x^{2}-9)\cdot e^{-x}\) (kleinere zuerst).

Satz vom Nullprodukt: \(e^{-x}\neq0\) — nur \(x^{2}-9=0\) zählt.
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\(x^{2}=9\) → x = −3 und x = 3
A8
Begrenztes Wachstum am Term
AFB I

Für ein Wachstum gilt \(f(t)=30-20e^{-0{,}2t}\). Entnehmen Sie dem Term die Schranke \(S\) und den Anfangswert \(f(0)\).

Form: \(f(t)=S-(S-f(0))\cdot e^{-kt}\).
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\(S=30\), \(f(0)=30-20\cdot1\) = 10
A9
Potenzen zusammenfassen
AFB I

Fassen Sie \(e^{2x}\cdot e^{3x-1}\) zu einem Term \(e^{kx+n}\) zusammen.

Potenzgesetz: \(e^{a}\cdot e^{b}=e^{a+b}\).
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\(e^{2x+3x-1}=e^{5x-1}\) → k = 5, n = −1
A10
Verdopplungszeit
AFB I

Ein Bestand wächst nach \(f(t)=4e^{0{,}25t}\) (\(t\) in Jahren). Bestätigen Sie die Verdopplungszeit, indem Sie sie berechnen (zwei Nachkommastellen).

Jahre
Verdopplungszeit: \(e^{kT}=2\Rightarrow T=\frac{\ln2}{k}\).
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\(T=\frac{\ln2}{0{,}25}\) ≈ 2,77 Jahre