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Übungen: Wachstum modellieren

Zehn Übungen zum Wählen, Deuten und Kritisieren von Wachstumsmodellen.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.

A1
Welches Modell passt zur Tabelle?
AFB I

Die Karten zeigen Messreihen in gleichen Zeitabständen. Ordnen Sie jede Reihe dem passenden Wachstumsmodell zu.

Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1linear
2exponentiell
3begrenzt
Linear: gleiche Differenzen (auch fallend: −8 pro Schritt). Exponentiell: gleiche Quotienten (×2, ×0,5, ×1,1). Begrenzt: gleiche Quotienten der Abstände zur Grenze — bei \(S=100\) sind das \(80;\,40;\,20;\,10;\,5\). Begrenzt geht auch von oben: Bei der Grenze 20 halbieren sich die Abstände \(60;\,30;\,15;\,7{,}5\) — die Werte selbst halbieren sich nicht.
Ansatz: Bilden Sie Differenzen und Quotienten aufeinanderfolgender Werte.
Weiter: Bei gegebener Grenze \(S\): Rechnen Sie die Abstände \(S-y\) aus und prüfen Sie deren Quotienten.
A2
Stimmt's? — Parameter deuten
AFB I

Die Abonnentenzahl eines Schul-Podcasts wird durch \(P(t)=250\cdot e^{0{,}12t}\) beschrieben (\(t\) in Monaten seit dem Start). Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Unterscheiden Sie \(k\) (Rate bezogen auf den Bestand, „momentan“) und den Wachstumsfaktor \(e^{k}\) pro Zeiteinheit. Für kleine \(k\) liegen \(k\) und \(e^{k}-1\) nah beieinander, sind aber nicht gleich.
Ansatz: Setzen Sie für jede Aussage passend ein: \(t=0\), \(t=1\), \(t=10\).
Weiter: Verdopplungszeit: \(e^{0{,}12\,T}=2\Rightarrow T=\frac{\ln2}{0{,}12}\).
A3
Pflanzenschutzmittel im Boden
AFB I

Die Masse eines Pflanzenschutzmittels im Boden nimmt nach \(m(t)=8\cdot e^{-0{,}035t}\) ab (\(m\) in g, \(t\) in Tagen). Berechnen Sie die Halbwertszeit auf eine Nachkommastelle.

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(e^{-0{,}035T}=\frac12\Rightarrow T=\frac{\ln2}{0{,}035}\approx19{,}8\) Tage. Die Halbwertszeit hängt nicht von der Anfangsmenge ab — die 8 g spielen keine Rolle.
Ansatz: Gesucht ist \(T\) mit \(m(T)=\frac12\cdot m(0)\).
Weiter: \(-0{,}035\,T=\ln0{,}5=-\ln2\).
A4
Bekanntheit einer Marke
AFB II Mix

Nach dem Start einer Werbekampagne gibt \(B(t)=90-75\cdot e^{-0{,}3t}\) den Anteil der Befragten in Prozent an, die eine neue Marke kennen (\(t\) in Wochen). Interpretieren Sie die Parameter, indem Sie jeweils die passende Deutung wählen.

Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag und prüfen Sie dann alle auf einmal.

Die Zahl 90 bedeutet:

Der Anteil zu Beginn ist:

Die Zahl 75 bedeutet:

Die Zahl 0,3 bedeutet: Die Zunahme pro Woche ist proportional zum …

Der Abstand zur Grenze halbiert sich etwa alle

\(B(0)=90-75=15\). Wegen \(B'(t)=0{,}3\cdot(90-B(t))\) ist die Zunahme proportional zum Abstand zur Grenze. Dieser Abstand \(75e^{-0{,}3t}\) halbiert sich alle \(\frac{\ln2}{0{,}3}\approx2{,}3\) Wochen.
Ansatz: Was passiert mit \(e^{-0{,}3t}\) für \(t=0\) und für \(t\to\infty\)?
Weiter: Die Halbwertszeit gilt beim begrenzten Wachstum für den Abstand \(S-B(t)\), nicht für \(B\) selbst.
A5
Rechenkette: Waschbären in der Region
AFB II

Die Zahl der Waschbären in einer Region wird durch \(N(t)=320\cdot e^{0{,}18t}\) modelliert (\(t\) in Jahren ab 2020). Ermitteln Sie die Größen nacheinander.

Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Bestand im Jahr 2025 (ganze Zahl) Tiere
  2. Verdopplungszeit (eine Nachkommastelle) Jahre
  3. Zeitpunkt, zu dem 2000 Tiere erreicht sind (eine Nachkommastelle) Jahre nach 2020
  4. Wachstumsgeschwindigkeit bei 2000 Tieren Tiere pro Jahr
\(N(5)=320e^{0{,}9}\approx787\). \(T_{2}=\frac{\ln2}{0{,}18}\approx3{,}9\) Jahre. \(320e^{0{,}18t}=2000\Rightarrow t=\frac{\ln6{,}25}{0{,}18}\approx10{,}2\), also etwa im Jahr 2030. Die Geschwindigkeit folgt ohne Ableiten aus \(N'=0{,}18\cdot N=360\).
Ansatz: Einsetzen, dann Exponentialgleichungen mit \(\ln\) lösen.
Weiter: Für den letzten Schritt: \(N'(t)=k\cdot N(t)\) aus 5.1.1.
A6
Kontext und Modellgleichung
AFB II

Vergleichen Sie die Sachsituationen mit den Modellen und verbinden Sie jede Situation mit der passenden Gleichung (\(t\) jeweils in der natürlichen Zeiteinheit).

Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Konstante Zunahme \(\to\) linear. Zinseszins und Abbau \(\to\) exponentiell mit \(k>0\) bzw. \(k<0\). Gerücht und Saft haben eine natürliche Obergrenze (900 Lernende, 21 °C) \(\to\) begrenzt. Unterscheidbar sind diese beiden über \(S\) und den Startwert: \(900-880=20\) Eingeweihte, \(21-15=6\) °C.
Ansatz: Fragen Sie zuerst: Gibt es eine natürliche Grenze? Dann: Ist die Zunahme konstant oder bestandsabhängig?
Weiter: Die beiden begrenzten Modelle unterscheiden Sie am Wert von \(S\).
A7
Der Modellierungskreislauf konkret
AFB II

Ein Tierpark möchte wissen, wie lange sein Seerosenteich (\(40\,\mathrm{m^2}\)) noch freie Wasserfläche hat. Stellen Sie die Schritte des Modellierungskreislaufs in die richtige Reihenfolge.

Ziehen Sie die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Bedeckte Fläche mehrere Wochen lang messen
2Messwerte auf Differenzen, Quotienten und Obergrenze untersuchen
3Modell aufstellen, z. B. per Regression f(t) = a·e^(kt)
4Gleichung f(t) = 40 lösen
5Ergebnis im Kontext deuten: „Nach etwa … Wochen ist der Teich zu.“
6Mit neuen Messwerten prüfen und ggf. auf ein begrenztes Modell wechseln
Sachsituation \(\to\) Daten \(\to\) Modell \(\to\) mathematische Lösung \(\to\) Deutung \(\to\) Validierung. Der Kreislauf ist nicht nach einem Durchlauf fertig: Bei \(40\,\mathrm{m^2}\) Teichfläche wird das exponentielle Modell spätestens kurz vor der Grenze falsch.
Ansatz: Ohne Daten kein Modell, ohne Modell keine Rechnung.
Weiter: Der letzte Schritt schließt den Kreis: Er kann zurück zum Aufstellen führen.
A8
Fehlersuche: Die Schulband wird berühmt
AFB III

Die Schulband hatte vor 4 Wochen 150 Follower, heute sind es 420. Jonas modelliert und prognostiziert. Überprüfen Sie seine Lösung — zwei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
Rechnen ist nur die halbe Modellierung. Ein Ergebnis wie 267 Millionen muss als Grenze des Modells gedeutet werden, nicht übernommen. Und: Zwei Punkte legen \(a\) und \(k\) fest — über die Qualität sagt das nichts.
Ansatz: Prüfen Sie jede Zeile auf zwei Fragen: Ist die Rechnung richtig? Ist die Aussage im Kontext sinnvoll?
Weiter: Wie viele Punkte braucht man mindestens, um die Güte eines Modells mit zwei Parametern zu beurteilen?
A9
Joghurt im Klassenraum
AFB III Mix Trick

Ein Joghurt aus dem Kühlschrank (6 °C) steht in einem 22 °C warmen Raum. Nach 30 Minuten hat er 14 °C. Bestimmen Sie ohne Taschenrechner, nach wie vielen Minuten er 18 °C erreicht (begrenztes Modell).

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Der Abstand zur Raumtemperatur fällt exponentiell: \(16\to8\) in 30 Minuten, also halbiert er sich alle 30 Minuten. \(18\,°\mathrm C\) bedeutet Abstand \(4=16\cdot\frac14\) — zwei Halbierungen, also \(60\) Minuten. Wer linear denkt (8 °C in 30 min, also 12 °C in 45 min), kommt auf 45 Minuten.
Ansatz: Rechnen Sie mit dem Abstand zu 22 °C statt mit der Temperatur.
Weiter: Abstand 16 \(\to\) 8 in 30 min. Wie oft muss er halbiert werden, bis er 4 ist?
A10
Drei Modelle, ein neuer Messwert
AFB III

Für die Besucherzahl eines neuen Kletterparks (in Hundert pro Monat) wurden drei Modelle an die ersten drei Monate (12; 17; 22 Hundert) angepasst: linear \(L\), exponentiell \(E\) und begrenzt \(B\) mit \(S=50\). Im Monat 6 zählt man 38 Hundert Besucher; die Modelle sagen \(L(6)=41\), \(E(6)=66\), \(B(6)=37\) voraus. Bewerten Sie, welche Aussagen begründet sind.

Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.
Abweichungen: \(B\) um \(-1\), \(L\) um \(+3\), \(E\) um \(+28\) (\(\approx74\,\%\)). Nah beieinander heißt nicht gleicher Verlauf: \(L\) wächst unbegrenzt weiter, \(B\) bleibt unter 50 — nach zwei Jahren liegen sie weit auseinander. Ein Messwert stützt ein Modell, beweist es aber nicht.
Ansatz: Berechnen Sie für jedes Modell die Abweichung vom Messwert 38.
Weiter: Für Langzeitprognosen zählt neben der Passung auch der Verlauf: Hat das Modell eine Obergrenze?