Wachstum modellieren

Welches Modell zu einem Prozess passt, zeigen die Daten — und die Frage, ob es im Sachkontext eine natürliche Obergrenze gibt.

• Linear:\(f'(t)=m\) — konstante Änderungsrate; in der Tabelle gleiche Differenzen.
• Exponentiell:\(f'(t)=k\cdot f(t)\) — Rate proportional zum Bestand; gleiche Quotienten \(\frac{f(t+1)}{f(t)}\).
• Begrenzt:\(f'(t)=k\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\) — Rate proportional zum Abstand; gleiche Quotienten der Abstände zu \(S\).
• Kontext:gibt es eine Obergrenze (Einwohnerzahl, Fläche, Raumtemperatur), kommt langfristig nur ein begrenztes Modell in Frage.

Alle drei Modelle wurden an die Werte der Wochen 0 und 2 angepasst. Rolle die Zeitrolle nach rechts (ziehen oder Pfeiltasten), um Woche für Woche neue Messwerte freizulegen, und beobachte die Abweichungen.

Halte fest: Zu Beginn passen alle drei Modelle. Erst beim Weiterrollen der Zeit trennen sie sich — über die Wahl entscheidet der Sachkontext, hier die Obergrenze von 1200 Lernenden.

Ein Modell ist gut, solange es die Wirklichkeit im gewünschten Zeitraum ausreichend genau beschreibt.

• Kreislauf:Sachsituation → Modell aufstellen → mathematisch lösen → im Kontext deuten → mit Daten prüfen → gegebenenfalls anpassen.
• Gültigkeitsbereich:angeben, für welche Zeiten das Modell gelten soll; Vorhersagen weit außerhalb der Messwerte sind unsicher.
• Beispiel:Algen auf einem Teich von \(60\,\mathrm{m^{2}}\), Modell \(f(t)=0{,}5\,e^{0{,}4t}\) (\(t\) in Wochen): \(f(t)=60\) bei \(t=\frac{\ln120}{0{,}4}\approx12\). Danach sagt das Modell mehr Algen als Fläche voraus — es gilt nur für \(t\le12\).
• Kritik:exponentielles Wachstum ist langfristig nie realistisch; Ressourcen, Platz oder Sättigung bremsen.
• Vergleichen:Modelle an neuen Messwerten messen: Abweichungen, Verlauf, Sachlogik.