Solaranlagen auf Dächern
AFB I–IIIn einer Gemeinde mit 2400 geeigneten Dächern wird die Zahl der Photovoltaik-Anlagen zunächst durch \(P(t)=150\cdot e^{0{,}21t}\) beschrieben (\(t\) in Jahren seit Beginn eines Förderprogramms).
- Geben Sie die Bedeutung der Parameter 150 und 0,21 im Sachzusammenhang an und berechnen Sie die Verdopplungszeit.
- Bestimmen Sie, wann laut Modell \(P\) alle geeigneten Dächer mit Anlagen belegt wären, und erläutern Sie, was daraus für den Gültigkeitsbereich des Modells folgt.
- Ein Planungsbüro schlägt stattdessen \(B(t)=2400-2250\cdot e^{-kt}\) vor. Ermitteln Sie \(k\) so, dass \(B\) und \(P\) zu Beginn dieselbe Änderungsrate haben.
- Nach 5 Jahren zählt man 390 Anlagen. Beurteilen Sie beide Modelle für kurzfristige und langfristige Prognosen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
150: Zu Beginn des Programms gibt es 150 Anlagen. 0,21: Die momentane Zunahme beträgt \(21\,\%\) des aktuellen Bestands pro Jahr (\(P'=0{,}21\,P\), Einheit \(\frac1{\text{Jahr}}\)). \(T_{2}=\frac{\ln2}{0{,}21}\approx3{,}3\) Jahre.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(150\,e^{0{,}21t}=2400\Rightarrow t=\frac{\ln16}{0{,}21}\approx13{,}2\) Jahre. Danach würde \(P\) mehr Anlagen als Dächer liefern. Das Modell ist höchstens für \(0\le t\le13\) sinnvoll — realistisch schon vorher nicht mehr, weil das Wachstum bei zunehmender Belegung abbremst (nicht jeder Eigentümer baut).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(P'(0)=0{,}21\cdot150=31{,}5\) Anlagen pro Jahr. \(B'(0)=2250k\). Aus \(2250k=31{,}5\) folgt \(k=0{,}014\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(P(5)=150\,e^{1{,}05}\approx429\) (Abweichung \(+39\), rund \(10\,\%\)), \(B(5)=2400-2250\,e^{-0{,}07}\approx302\) (Abweichung \(-88\), rund \(23\,\%\)). Kurzfristig beschreibt \(P\) die Entwicklung besser. Langfristig ist \(P\) unbrauchbar (Überschreitung der 2400), \(B\) respektiert die Grenze, wächst aber zu langsam. Urteil: Keines der beiden Modelle passt über den ganzen Zeitraum; sinnvoll wäre ein begrenztes Modell, das an neue Daten angepasst wird (z. B. Regression auf \(2400-N\)), oder ein Modell mit anfangs exponentiellem und später gebremstem Verlauf.
Glasfaser für die Kleinstadt
AFB II–IIIIn einer Kleinstadt mit 4000 Haushalten wird ein Glasfasernetz ausgebaut. Die Tabelle zeigt die Zahl der angeschlossenen Haushalte (\(t\) in Jahren seit Baubeginn).
| \(t\) in Jahren | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(N(t)\) | 600 | 1220 | 1715 | 2140 | 2465 | 2755 |
- Untersuchen Sie anhand der Tabelle, ob ein lineares, ein exponentielles oder ein begrenztes Modell mit \(S=4000\) passt.
- Stellen Sie ein Modell \(B(t)=4000-b\cdot e^{-kt}\) auf, das durch die Punkte für \(t=0\) und \(t=5\) verläuft.
- Eine lineare Regression liefert \(L(t)=749+426{,}7t\). Vergleichen Sie die Prognosen beider Modelle für \(t=10\) und interpretieren Sie das Ergebnis.
- Die Stadtwerke rechnen mit dem Modell \(B\) und planen: „Nach 14 Jahren sind 95 % der Haushalte angeschlossen.“ Nehmen Sie Stellung zu dieser Planung, auch zur Wahl von \(S=4000\).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Differenzen \(620;\,495;\,425;\,325;\,290\): nicht konstant, also nicht linear. Quotienten \(\approx2{,}03;\,1{,}41;\,1{,}25;\,1{,}15;\,1{,}12\): nicht konstant, also nicht exponentiell. Abstände zu 4000: \(3400;\,2780;\,2285;\,1860;\,1535;\,1245\), ihre Quotienten \(\approx0{,}82;\,0{,}82;\,0{,}81;\,0{,}83;\,0{,}81\) sind nahezu konstant — ein begrenztes Modell passt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(b=4000-600=3400\). \(3400\,e^{-5k}=1245\Rightarrow k=\frac{\ln(3400/1245)}{5}\approx0{,}201\). Also \(B(t)=4000-3400\,e^{-0{,}201t}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(L(10)\approx5016\), \(B(10)\approx3544\). Das lineare Modell sagt mehr Anschlüsse als Haushalte voraus; es überschreitet 4000 schon bei \(t\approx7{,}6\). Im Messbereich passen beide Modelle ordentlich, aber nur \(B\) berücksichtigt, dass die Zahl der Haushalte begrenzt ist und der Zuwachs abnimmt — für Prognosen ist \(B\) klar vorzuziehen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Rechnung: \(3400\,e^{-0{,}201t}=200\Rightarrow t=\frac{\ln17}{0{,}201}\approx14{,}1\) Jahre — die Aussage folgt korrekt aus dem Modell. Aber: \(S=4000\) setzt voraus, dass jeder Haushalt anschließen lässt; realistisch lehnen manche ab, sodass die tatsächliche Grenze darunter liegen dürfte. Dann würden 95 % der Haushalte nie oder viel später erreicht. Außerdem liegt \(t=14\) weit außerhalb der sechs Messjahre. Stellungnahme: Die Planung ist mathematisch schlüssig, aber zu optimistisch; sinnvoll ist, \(S\) z. B. durch eine Befragung zu schätzen und das Modell mit neuen Daten laufend anzupassen.