Parameter an Daten anpassen: Übungen – Mathe Grundkurs

A1

Zwei Punkte oder Regression?

AFB I

Ordnen Sie jede Aussage zu: Gilt sie für den Zwei-Punkte-Ansatz, für die Regression mit dem Rechner oder für beide Verfahren?

Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1nur Zwei-Punkte-Ansatz

2nur Regression

3beide Verfahren

Der Zwei-Punkte-Ansatz nutzt nur zwei Messwerte und trifft diese exakt — ein Ausreißer im Paar verdirbt das ganze Modell. Die Regression gleicht über alle Werte aus und liefert mit \(r^{2}\) ein Gütemaß. Beide erzeugen \(a\cdot e^{kt}\), beide rechnen intern mit \(\ln\) (die Exp-Regression ist eine lineare Regression für \((t\,|\,\ln y)\)).

Ansatz: Wie viele Messwerte nutzt jedes Verfahren?Warum? Daraus folgt, ob das Modell Punkte exakt trifft oder ausgleicht.

Weiter: Ein Gütemaß wie \(r^{2}\) ergibt nur Sinn, wenn mehr Punkte als Parameter vorhanden sind.

A2

Stimmt's? — Ausgabe des TI-Nspire

AFB I

Für eine Messreihe (\(t\) in Stunden) liefert die Exponentielle Regression des TI-Nspire: \(y=3{,}2\cdot1{,}35^{x}\), \(r^{2}=0{,}994\). Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Merken Sie sich die Übersetzung \(b=e^{k}\Leftrightarrow k=\ln b\). Das Bestimmtheitsmaß ist eine Aussage über die vorhandenen Messwerte, keine Garantie für die Zukunft.

Ansatz: Der TI-Nspire rechnet in der Form \(a\cdot b^{x}\). Wie hängt \(b\) mit \(k\) zusammen?

Weiter: \(b^{x}=e^{x\ln b}\), also \(k=\ln b\approx0{,}300\).

A3

Schimmel auf dem Nährboden

AFB I

Eine Schimmelkolonie bedeckt zu Beginn \(0{,}8\,\mathrm{cm^2}\), nach 6 Stunden \(3{,}1\,\mathrm{cm^2}\). Das Modell lautet \(A(t)=0{,}8\cdot e^{kt}\). Berechnen Sie \(k\) auf drei Nachkommastellen.

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(0{,}8\cdot e^{6k}=3{,}1\Rightarrow e^{6k}=3{,}875\Rightarrow k=\frac{\ln3{,}875}{6}\approx0{,}226\) pro Stunde. Weil der Startwert bei \(t=0\) gemessen wurde, ist \(a=0{,}8\) sofort klar — nur \(k\) muss berechnet werden.

Ansatz: Setzen Sie den Punkt \((6\,|\,3{,}1)\) ein und teilen Sie durch \(0{,}8\).

Weiter: Dann beide Seiten logarithmieren: \(6k=\ln3{,}875\).

A4

Rechenkette: Kaninchen auf einer Insel

AFB II

Auf einer Insel zählt man im Jahr 2 nach der Ansiedlung 45 Kaninchen, im Jahr 7 bereits 160. Modell: \(N(t)=a\cdot e^{kt}\). Ermitteln Sie die Größen nacheinander (\(k\) auf zwei, \(t\) auf eine Nachkommastelle, Anzahlen ganzzahlig; intern ungerundet weiterrechnen).

Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Wachstumskonstante k pro Jahr
Startwert a = N(0) Kaninchen
Prognose N(10) Kaninchen
Zeitpunkt, zu dem 500 Kaninchen erreicht sind Jahre

Quotient bilden, \(a\) kürzt sich: \(\frac{160}{45}=e^{5k}\Rightarrow k=\frac{\ln(160/45)}{5}\approx0{,}254\). Dann \(a=45\cdot e^{-2k}\approx27{,}1\) und \(N(10)\approx342{,}5\). Aus \(27{,}1\,e^{0{,}254t}=500\) folgt \(t\approx11{,}5\). Rechnen Sie mit dem ungerundeten \(k\) weiter — sonst verschieben sich die späteren Ergebnisse.

Ansatz: Teilen Sie \(N(7)\) durch \(N(2)\): \(\frac{a\,e^{7k}}{a\,e^{2k}}=e^{5k}\).

Weiter: Für \(a\): \(a=y_{1}\cdot e^{-k\,t_{1}}=45\cdot e^{-2k}\).

A5

Was die Regression im Inneren tut

AFB II

Hefezellen in einer Nährlösung (in Mio. pro ml). Trägt man \(\ln y\) gegen \(t\) auf, liegen exponentielle Daten auf einer Geraden. Erstellen Sie die Zeile \(\ln y\) (zwei Nachkommastellen) und die Steigungen zwischen benachbarten Spalten.

Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

	\(t=0\)	\(t=2\)	\(t=4\)	\(t=6\)
\(y\)	3,0	5,1	8,4	14,2
\(\ln y\)
Steigung zur Vorspalte	—

Die Steigungen \(\frac{\Delta\ln y}{\Delta t}\) liegen alle bei etwa \(0{,}26\) — das ist \(k\). Der Achsenabschnitt \(\approx1{,}10\) ist \(\ln a\), also \(a\approx3{,}0\). Genau so rechnet die Exp-Regression: eine Ausgleichsgerade durch die Punkte \((t\,|\,\ln y)\). Ergebnis hier: \(f(t)\approx3{,}01\cdot e^{0{,}258t}\).

Ansatz: \(\ln(3{,}0)\approx1{,}10\). Steigung: \(\frac{1{,}63-1{,}10}{2}\).

Weiter: Aus \(y=a\cdot e^{kt}\) folgt \(\ln y=\ln a+k\cdot t\) — eine Geradengleichung mit Steigung \(k\).

A6

Begrenztes Modell aus zwei Messwerten

AFB II Mix

Bei einer Dauerinfusion nähert sich die Wirkstoffkonzentration im Blut dem Wert \(12\,\mathrm{mg/l}\). Zu Beginn ist sie 0, nach 2 Stunden \(5\,\mathrm{mg/l}\). Stellen Sie das Modell \(c(t)=S-b\cdot e^{-kt}\) auf, indem Sie jeden Schritt auswählen.

Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag und prüfen Sie dann alle auf einmal.

Die Sättigungsgrenze ist S =

Aus c(0) = 0 folgt b =

Aus c(2) = 5 folgt die Gleichung

Damit ist k ≈

Nach 6 Stunden beträgt c(6) ≈

\(12-12e^{-2k}=5\Rightarrow e^{-2k}=\frac{7}{12}\Rightarrow k=-\frac{\ln(7/12)}{2}\approx0{,}269\). Der Trick: Der Abstand \(S-c(t)\) fällt exponentiell — von 12 auf 7. \(c(6)=12-12e^{-6k}=12-12\cdot\left(\frac{7}{12}\right)^{3}\approx9{,}6\).

Ansatz: Aus 5.3.1: \(S\) ist der Grenzwert, \(b=S-c(0)\) der Anfangsabstand.

Weiter: Setzen Sie \(t=2\) ein und formen Sie nach \(e^{-2k}\) um, bevor Sie logarithmieren.

A7

Regression für begrenztes Wachstum

AFB II

Der GTR kennt keine Regression für \(S-b\cdot e^{-kt}\). Mit einem Umweg geht es trotzdem, wenn \(S\) bekannt ist. Stellen Sie den Ablauf in der richtigen Reihenfolge dar.

Ziehen Sie die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Sättigungsgrenze S aus dem Sachkontext festlegen

2Abstände d = S − y für alle Messwerte berechnen

3t in List 1 und die Abstände d in List 2 eintragen

4Exp-Regression a·e^(bx) auf (t | d) ausführen

5Ablesen: b = a und k = −b (b ist negativ)

6Modell f(t) = S − b·e^(−kt) notieren und mit den Daten zeichnen

Begrenztes Wachstum heißt: der Abstand zur Grenze nimmt exponentiell ab. Also passt man die Exp-Regression an die Abstände an, nicht an die Messwerte. Der GTR liefert dann ein negatives \(b\) — sein Betrag ist \(k\).

Ansatz: Welche Größe fällt beim begrenzten Wachstum exponentiell?

Weiter: Erst \(S\), dann die Abstände — erst danach hat der Rechner etwas zum Regressieren.

A8

Fehlersuche: E-Autos in der Stadt

AFB III

Lea hat die Zahl der zugelassenen E-Autos einer Stadt modelliert (2019: 120; 2020: 170; 2021: 250; 2022: 350; 2023: 500). Überprüfen Sie ihre Lösung — zwei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.

Zwei typische Fehler: den TI-Nspire-Wert \(b\) direkt als \(k\) übernehmen (Faktor 4 zu groß!) und aus einem guten \(r^{2}\) auf gute Langzeitprognosen schließen.

Ansatz: Welche Ausgabe hat der TI-Nspire — \(a\cdot b^{x}\) oder \(a\cdot e^{kx}\)?

Weiter: Was genau misst \(r^{2}\) — die Passung an vorhandene Punkte oder an zukünftige?

A9

Gerade im ln-Diagramm

AFB III Trick

Trägt man die Messwerte als \((t\,|\,\ln y)\) auf, liegen sie auf einer Geraden durch \((0\,|\,1{,}2)\) und \((5\,|\,3{,}2)\). Bestimmen Sie den Startwert \(a\) des Modells \(y=a\cdot e^{kt}\) (zwei Nachkommastellen).

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Die Gerade ist \(\ln y=1{,}2+0{,}4t\). Der Achsenabschnitt ist \(\ln a\), nicht \(a\): \(a=e^{1{,}2}\approx3{,}32\). Die Steigung ist direkt \(k=0{,}4\). Wer \(a=1{,}2\) einträgt, hat vergessen, dass die y-Achse logarithmiert ist.

Ansatz: Aus \(y=a\cdot e^{kt}\) folgt \(\ln y=\ln a+kt\). Was ist der Achsenabschnitt?

Weiter: Achsenabschnitt \(1{,}2=\ln a\) — also muss man zurückrechnen.

A10

Residuen richtig lesen

AFB III

An eine Messreihe wurde ein Modell angepasst. Die Residuen (Messwert minus Modellwert) lauten der Zeit nach: \(+4;\;-1;\;-3;\;-4;\;-2;\;+1;\;+6\). Das Bestimmtheitsmaß ist \(r^{2}=0{,}97\). Beurteilen Sie, welche Schlüsse gerechtfertigt sind.

Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.

Gute Residuen streuen zufällig um 0. Ein Bogenmuster (+ … − … +) zeigt, dass die Krümmung falsch ist. Positives Residuum heißt: Messwert größer als Modellwert, also unterschätzt das Modell. Bei der Exp-Regression wird zudem auf \(\ln y\) optimiert — die Residuen in \(y\) summieren sich dann nicht zu 0.

Ansatz: Residuum \(=\) Messwert \(-\) Modellwert. Was bedeutet also ein Plus?

Weiter: Zufällige Streuung wechselt das Vorzeichen unregelmäßig; lange Blöcke gleichen Vorzeichens sind ein Warnsignal.

Übungen: Parameter an Daten anpassen

Übungsaufgaben