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Parameter an Daten anpassen

Zwei Messpunkte reichen für eine Formel — aber welche zwei sollte man nehmen?

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Zwei Punkte legen a und k fest

Für ein Modell \(f(t)=a\cdot e^{kt}\) braucht man zwei Parameter — also zwei Messpunkte.

  • Startwert:liegt ein Messwert bei \(t=0\) vor, ist \(a=f(0)\).
  • Konstante k:aus \(a\cdot e^{kt_{1}}=y_{1}\) folgt \(k=\frac{\ln(y_{1}/a)}{t_{1}}\).
  • Beispiel:Bakterien mit \(f(0)=500\) und \(f(3)=1350\): \(k=\frac{\ln2{,}7}{3}\approx0{,}331\), also \(f(t)=500\,e^{0{,}331t}\).
  • Zwei beliebige Punkte:Quotient bilden, \(a\) kürzt sich: \(\frac{y_{2}}{y_{1}}=e^{k(t_{2}-t_{1})}\).
  • Güte:Messwerte streuen — verschiedene Punktpaare liefern verschiedene Modelle.

Markiere zwei Messpunkte (Klick oder Tab und Enter). Durch sie wird das Modell gelegt; der Zähler zeigt, wie viele der acht Messwerte im ±5-%-Band liegen. Suche das beste Paar und vergleiche mit der Regression.

Wasserlinsen im Aquarium

Halte fest: Zwei Punkte bestimmen \(a\) und \(k\) eindeutig. Weit auseinanderliegende, typische Punkte ergeben meist das bessere Modell; die Regression berücksichtigt alle Messwerte.

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Regression mit GTR und CAS

Bei vielen Messwerten bestimmt der Rechner das Modell, das insgesamt am besten passt.

  • GTR (fx-CG50):MENU Statistik, Zeiten in List 1, Werte in List 2; F2 (CALC), F3 (REG), mit F6 (▷) weiter zu Exp, dann \(a\cdot e^{bx}\). Ausgabe: \(a\), \(b\), \(r\), \(r^{2}\) — hier ist \(b\) unser \(k\).
  • CAS (TI-Nspire):Lists & Spreadsheet, Menü › Statistik › Statistische Berechnungen › Exponentielle Regression. Ausgabe \(y=a\cdot b^{x}\) — umrechnen mit \(k=\ln b\).
  • Bestimmtheitsmaß:\(r^{2}\) nahe \(1\) heißt: die Punkte liegen dicht an der Kurve.
  • Anpassen an eine Bedingung:soll das Modell z. B. durch \((0\,|\,a)\) gehen, bleibt nur \(k\) frei — dann reicht ein zweiter Punkt.
Merke

Zwei-Punkte-Ansatz: \(k=\dfrac{\ln\left(\frac{y_{2}}{y_{1}}\right)}{t_{2}-t_{1}}\quad\text{und}\quad a=y_{1}\cdot e^{-k\,t_{1}}\)

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Allgemeine Hinweise

TI-Nspire liefert b, nicht k

Die Exponentielle Regression des TI-Nspire hat die Form \(y=a\cdot b^{x}\). Für die e-Funktion gilt \(k=\ln b\) — sonst stimmt der Exponent nicht.

Zeitnullpunkt festlegen

Setze \(t=0\) beim ersten Messwert und notiere die Einheit von \(t\). Jahreszahlen wie 2019 direkt einzusetzen, erzeugt riesige Exponenten.

Plausibilität prüfen

Zeichne Modell und Messpunkte gemeinsam. Ein Modell, das den Startwert trifft, kann trotzdem am Ende deutlich danebenliegen.

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