Borkenkäfer im Fichtenwald
AFB I–IIEin Förster zählt in einem Revier die Fichten, die vom Borkenkäfer befallen sind (\(t\) in Wochen seit Beginn der Zählung).
| \(t\) in Wochen | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(N(t)\) | 40 | 65 | 98 | 158 | 226 |
- Bestimmen Sie ein Modell \(Z(t)=a\cdot e^{kt}\), das durch die Messpunkte für \(t=0\) und \(t=2\) verläuft.
- Ermitteln Sie mit dem Rechner die exponentielle Regression \(R(t)=a\cdot e^{kt}\) über alle Messwerte und geben Sie das Bestimmtheitsmaß an.
- Vergleichen Sie beide Modelle anhand des Werts für \(t=8\) und begründen Sie, welches Modell die Messreihe besser beschreibt.
- Berechnen Sie mit dem Regressionsmodell, wann 1000 Fichten befallen sind, und die Verdopplungszeit.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(a=40\). \(40\,e^{2k}=65\Rightarrow k=\frac{\ln1{,}625}{2}\approx0{,}243\). Also \(Z(t)=40\cdot e^{0{,}243t}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
GTR (Exp \(a\cdot e^{bx}\)): \(a\approx41{,}10\), \(b\approx0{,}2176\), \(r^{2}\approx0{,}998\). TI-Nspire: \(y\approx41{,}10\cdot1{,}2431^{x}\), \(k=\ln1{,}2431\approx0{,}218\). Also \(R(t)\approx41{,}10\cdot e^{0{,}218t}\). Das \(r^{2}\) nahe 1 zeigt, dass alle Messpunkte dicht an der Kurve liegen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(Z(8)\approx279\) weicht um etwa \(+53\) (rund \(23\,\%\)) vom Messwert 226 ab, \(R(8)\approx234\) nur um etwa \(+8\). Das Zwei-Punkte-Modell hängt an zwei nahe beieinanderliegenden Punkten; kleine Messschwankungen wirken sich auf \(k\) stark aus und werden über die Zeit exponentiell verstärkt. Die Regression nutzt alle fünf Werte und beschreibt die Messreihe besser.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(41{,}10\,e^{0{,}2176t}=1000\Rightarrow t=\frac{\ln(1000/41{,}10)}{0{,}2176}\approx14{,}7\) Wochen. \(T_{2}=\frac{\ln2}{0{,}2176}\approx3{,}2\) Wochen: Die Zahl befallener Bäume verdoppelt sich laut Modell etwa alle drei Wochen.
Zehn-Finger-Kurs
AFB II–IIIEine Schülerin lernt das Zehn-Finger-System. Ihre Tippgeschwindigkeit \(W\) (Wörter pro Minute) wird alle zwei Wochen gemessen. Erfahrene Schreibkräfte der Kursgruppe erreichen höchstens etwa 60 Wörter pro Minute.
| \(t\) in Wochen | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(W(t)\) | 12 | 24 | 32 | 39 | 44 | 47 |
| \(60-W(t)\) | 48 | 36 | 28 | 21 | 16 | 13 |
- Zeigen Sie mithilfe der Tabelle und des Sachkontexts, dass ein Modell \(f(t)=60-b\cdot e^{-kt}\) geeigneter ist als ein Modell \(g(t)=a\cdot e^{kt}\).
- Stellen Sie ein Modell auf, indem Sie \(b\) und \(k\) so wählen, dass \(f\) durch die Messpunkte für \(t=0\) und \(t=10\) verläuft.
- Mit der Regression aus der dritten Tabellenzeile erhält man \(f(t)=60-47{,}26\cdot e^{-0{,}132t}\). Erläutern Sie dieses Vorgehen und untersuchen Sie, ab wann die Schülerin laut Modell mehr als 55 Wörter pro Minute schreibt.
- Ein Mitschüler rechnet eine exponentielle Regression direkt mit den Werten \(W(t)\) und erhält \(g(t)\approx16{,}0\cdot e^{0{,}126t}\) mit \(r^{2}\approx0{,}85\). Beurteilen Sie dieses Modell unter Einbezug von \(g(20)\) und \(f(20)\).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Zuwächse \(12;\,8;\,7;\,5;\,3\) werden kleiner — bei exponentiellem Wachstum müssten sie größer werden. Die Quotienten der Abstände zu 60 sind nahezu konstant: \(\frac{36}{48}=0{,}75\), \(\frac{28}{36}\approx0{,}78\), \(\frac{21}{28}=0{,}75\), \(\frac{16}{21}\approx0{,}76\), \(\frac{13}{16}\approx0{,}81\). Der Abstand zur Schranke nimmt also exponentiell ab. Im Kontext gibt es eine Obergrenze (Fingerfertigkeit), daher passt ein begrenztes Modell.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(b=60-12=48\). \(48\,e^{-10k}=13\Rightarrow k=\frac{\ln(48/13)}{10}\approx0{,}131\). Also \(f(t)=60-48\,e^{-0{,}131t}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Beim begrenzten Wachstum gilt \(60-f(t)=b\cdot e^{-kt}\): Der Abstand fällt exponentiell. Daher trägt man \(t\) und \(60-W\) in die Listen ein und führt die Exp-Regression aus; der GTR liefert \(a\approx47{,}26\) und \(b\approx-0{,}132\), also \(k\approx0{,}132\).
\(f(t)>55\Leftrightarrow47{,}26\,e^{-0{,}132t}<5\Leftrightarrow t>\frac{\ln(47{,}26/5)}{0{,}132}\approx17{,}0\). Ab etwa Woche 17 schreibt sie laut Modell mehr als 55 Wörter pro Minute.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(r^{2}\approx0{,}85\) ist deutlich schlechter als beim begrenzten Modell (\(r^{2}\approx0{,}998\) für die Abstände). \(g\) wächst immer schneller, die Daten aber immer langsamer. \(g(20)\approx200\) Wörter pro Minute ist unrealistisch (mehr als das Dreifache der Obergrenze), während \(f(20)\approx56{,}6\) plausibel ist. Urteil: \(g\) ist als Modell ungeeignet — sowohl die Residuen im Messbereich (systematisch: Mitte unterschätzt, Rand überschätzt) als auch die Prognose sprechen dagegen. Vollständig ist die Antwort, wenn mindestens zwei Kriterien (Passung, Verlauf, Prognose/Sachlogik) herangezogen werden.