Von aˣ zur Basis e: Übungen – Mathe Grundkurs

A1

Gleiche Funktion, andere Schreibweise

AFB I

Jede Exponentialfunktion \(a^{x}\) lässt sich als \(e^{kx}\) schreiben. Ordnen Sie jeder Potenz die passende e-Funktion zu (k auf drei Nachkommastellen gerundet).

Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Immer gilt \(k=\ln a\): \(\ln1{,}2\approx0{,}182\), \(\ln0{,}6\approx-0{,}511\), \(\ln3\approx1{,}099\), \(\ln10\approx2{,}303\). Basen unter 1 liefern ein negatives \(k\), und bei Basen nahe 1 liegt \(k\) dicht bei \(a-1\).

Ansatz: Zu jeder Basis \(a\) gehört \(k=\ln a\). Zuerst das Vorzeichen prüfen: \(a<1\Rightarrow k<0\).

Weiter: Zwischen \(1{,}2\) und \(1{,}08\) entscheidet die Größe: \(\ln1{,}08\) ist ungefähr \(0{,}08\), nur etwas kleiner.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Ein Bestand wird durch \(f(x)=4\cdot0{,}7^{x}\) beschrieben. Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Beim Umschreiben wird aus dem Faktor \(0{,}7\) die Konstante \(k=\ln0{,}7\approx-0{,}357\). Mit diesem \(k\) erhält man Ableitung (\(f^{\prime}=k\cdot f\)) und Halbwertszeit (\(\frac{\ln2}{|k|}\)) direkt.

Ansatz: Rechnen Sie zuerst \(k=\ln0{,}7\) aus und vergleichen Sie jede Aussage damit.

Weiter: Ableitung: \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=\ln a\cdot a^{x}\) — der Vorfaktor \(4\) bleibt stehen.

A3

Ableiten mit ln a

AFB I Mix

Geben Sie jeweils die richtige Ableitung an. Zwei Terme brauchen zusätzlich die Kettenregel aus 5.2.1.

Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag und prüfen Sie dann alle auf einmal.

\(f(x)=3^{x}\;\Rightarrow\;f'(x)=\)

\(f(x)=x^{3}\;\Rightarrow\;f'(x)=\)

\(f(x)=7\cdot1{,}3^{x}\;\Rightarrow\;f'(x)\approx\)

\(f(x)=3^{2x}\;\Rightarrow\;f'(x)=\)

\(f(x)=e^{-0{,}5x}\;\Rightarrow\;f'(x)=\)

\(7\cdot\ln1{,}3\approx7\cdot0{,}2624\approx1{,}837\). Bei \(3^{2x}=e^{2x\cdot\ln3}\) liefert die Kettenregel den inneren Faktor \(2\), der \(\ln3\) bleibt — insgesamt \(2\ln3\cdot3^{2x}\).

Ansatz: Steht \(x\) im Exponenten, gilt \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=\ln a\cdot a^{x}\); steht \(x\) in der Basis, gilt die Potenzregel.

Weiter: Bei \(3^{2x}\) und \(e^{-0{,}5x}\) ist der Exponent linear — Faktor vor \(x\) als Ableitung der inneren Funktion dazu.

A4

Faktor, k und Prozent

AFB II

Wachstumsfaktor \(a\), Wachstumskonstante \(k\) und prozentuale Änderung pro Zeiteinheit hängen über \(k=\ln a\) und \(a=e^{k}\) zusammen. Erstellen Sie die vollständige Tabelle (\(k\) und \(a\) auf vier, Prozent auf zwei Nachkommastellen).

Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.

Vorgang	Faktor \(a\)	\(k\)	Änderung in %
Mietanstieg 4 % pro Jahr	1,04		+4
Abnahme 15 % pro Stunde	0,85		−15
Modell \(e^{0{,}25t}\)		0,25
Modell \(e^{-0{,}05t}\)		−0,05

Hin: \(k=\ln a\), also \(\ln1{,}04\approx0{,}0392\). Zurück: \(a=e^{k}\), also \(e^{0{,}25}\approx1{,}2840\), das sind \(+28{,}40\,\%\). Bei Wachstum liegt \(k\) unter dem Prozentsatz, bei Abnahme ist \(|k|\) größer als der Prozentsatz: \(|\ln0{,}85|\approx0{,}1625>0{,}15\).

Ansatz: Zeilen 1 und 2: \(\ln\) des Faktors. Zeilen 3 und 4: \(e^{k}\) berechnen, dann \((a-1)\cdot100\).

Weiter: Negative Prozentangaben mit Minus eintragen: \(e^{-0{,}05}\approx0{,}9512\Rightarrow-4{,}88\,\%\).

A5

Rechenkette: Wirkstoff im Blut

AFB II

Ein Medikament wird im Körper um \(12\,\%\) pro Stunde abgebaut; zu Beginn sind \(250\,\mathrm{mg}\) im Blut. Ermitteln Sie die Größen nacheinander.

Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Wachstumsfaktor a pro Stunde
Konstante k = ln a (vier Nachkommastellen) pro h
Abbaugeschwindigkeit f′(0) = k · 250 mg pro h
Halbwertszeit ln 2 : |k| h

\(f(t)=250\cdot0{,}88^{t}=250\cdot e^{-0{,}1278t}\). Zu Beginn baut der Körper also knapp \(32\,\mathrm{mg}\) pro Stunde ab — mehr als \(12\,\%\) von \(250\) (\(=30\)), weil \(|k|>0{,}12\). Nach etwa \(5{,}4\) Stunden ist die Hälfte abgebaut.

Ansatz: Abnahme um \(12\,\%\) heißt: Es bleiben \(88\,\%\), also \(a=0{,}88\).

Weiter: Für \(f^{\prime}(0)\) mit dem ungerundeten \(\ln0{,}88\) weiterrechnen.

A6

Lückentext: Warum a hoch x = e hoch (x · ln a)?

AFB II

Erklären Sie die Umformung, indem Sie die Lücken füllen. Zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Weil der natürliche Logarithmus die Umkehrung von eˣ ist, gilt a = e hoch für jedes a > 0. Nimmt man beide Seiten hoch x, sagt das (eʳ)ˣ = eʳˣ: Die Exponenten werden . Für 0 < a < 1 ist ln a , der Graph fällt also. Beim Ableiten von e^(x · ln a) liefert die den Faktor ln a.

Die Umformung braucht nur zwei Bausteine: \(a=e^{\ln a}\) und \(\left(e^{r}\right)^{x}=e^{rx}\). Die Potenzregel \(\left(x^{n}\right)^{\prime}=nx^{n-1}\) hat hier nichts zu suchen, und Exponenten werden beim Potenzieren multipliziert, nicht addiert.

Ansatz: Lesen Sie die Herleitung auf der Theorieseite: \(a^{x}=\left(e^{\ln a}\right)^{x}\).

Weiter: „Potenz einer Potenz“: Exponenten werden multipliziert — \(\left(e^{2}\right)^{3}=e^{6}\).

A7

Wer verdoppelt sich zuerst?

AFB II Trick

Vergleichen Sie die Verdopplungszeiten \(T_{2}=\frac{\ln2}{k}\) und ordnen Sie von der kürzesten zur längsten.

Ziehen Sie die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1f(x) = e^0,28x

2f(x) = 1,3^x

3f(x) = 1,25^x

4f(x) = 20 · e^0,2x

5f(x) = 1,22^x

Umrechnen: \(\ln1{,}3\approx0{,}262\), \(\ln1{,}25\approx0{,}223\), \(\ln1{,}22\approx0{,}199\). Also \(T_{2}\approx2{,}48;\ 2{,}64;\ 3{,}11;\ 3{,}47;\ 3{,}49\). Der Vorfaktor \(20\) spielt keine Rolle — und obwohl \(1{,}22\) „22 %“ verspricht, ist sein \(k\) knapp kleiner als \(0{,}2\).

Ansatz: Kleineres \(T_{2}\) heißt größeres \(k\). Rechnen Sie alle Basen in \(k=\ln a\) um.

Weiter: Knapp wird es bei \(20\cdot e^{0{,}2x}\) und \(1{,}22^{x}\): \(\ln1{,}22\approx0{,}1989<0{,}2\).

A8

Fehlersuche: Sparplan umrechnen

AFB III

Lea soll \(K(t)=350\cdot1{,}06^{t}\) (Guthaben in €, \(t\) in Jahren) als e-Funktion schreiben und auswerten. Überprüfen Sie ihre Lösung — zwei Zeilen sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.

\(k=\ln1{,}06\approx0{,}0583\); \(K^{\prime}(0)=350\cdot0{,}0583\approx20{,}39\); \(T_{2}=\frac{\ln2}{\ln1{,}06}\approx11{,}9\) Jahre. Zum Vergleich die „72er-Faustregel“ der Banken: \(72:6=12\) Jahre.

Ansatz: Prüfen Sie jede Zeile auf \(k=\ln a\) und \(T_{2}=\frac{\ln2}{k}\).

Weiter: Kontrolle Zeile 4: \(350\cdot\ln1{,}06\approx350\cdot0{,}05827\approx20{,}39\) — stimmt.

A9

Alles dieselbe Funktion?

AFB III

Entscheiden Sie, welche Terme für alle \(x\) mit \(f(x)=5\cdot2^{-x}\) übereinstimmen, und markieren Sie alle.

Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.

\(2^{-x}=\left(2^{-1}\right)^{x}=0{,}5^{x}=e^{x\ln0{,}5}=e^{-x\ln2}\). \(e^{-2x}\) hätte die Basis \(e^{-2}\approx0{,}135\). \(10^{-x}\) entsteht aus einem falschen „Hineinmultiplizieren“ des Vorfaktors, und \(\ln(-2)\) ist nicht definiert — die Basis muss positiv sein.

Ansatz: Schreiben Sie \(2^{-x}\) einmal als \(0{,}5^{x}\) und einmal als \(e^{kx}\) mit \(k=-\ln2\).

Weiter: Den Vorfaktor darf man nie in die Basis ziehen: \(5\cdot2^{-x}\neq10^{-x}\).

A10

Rückweg: Von k zum Prozentsatz

AFB III Trick

Ein Bestand gehorcht \(f^{\prime}(t)=-0{,}4\cdot f(t)\) (\(t\) in Tagen). Bestimmen Sie, um wie viel Prozent der Bestand pro Tag abnimmt (zwei Nachkommastellen).

Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Aus \(k=-0{,}4\) folgt \(f(t)=c\cdot e^{-0{,}4t}\) und damit der Tagesfaktor \(a=e^{-0{,}4}\approx0{,}6703\). Pro Tag bleiben \(67{,}03\,\%\), also nimmt der Bestand um \(32{,}97\,\%\) ab — nicht um \(40\,\%\). Die „40 %“ beschreiben nur die momentane Abbaugeschwindigkeit relativ zum Bestand.

Ansatz: Gesucht ist der Faktor pro Tag: \(a=e^{k}\).

Weiter: Abnahme in Prozent: \((1-a)\cdot100\).

Übungen: Von aˣ zur Basis e

Übungsaufgaben