Von aˣ zur Basis e

Weil \(e^{\ln a}=a\) gilt, lässt sich jede positive Basis \(a\) als Potenz von \(e\) schreiben — und damit jede Exponentialfunktion als e-Funktion.

Herleitung:

• Wachstumskonstante:\(k=\ln a\), also \(c\cdot a^{x}=c\cdot e^{kx}\).
• Vorzeichen:\(a>1\Rightarrow k>0\) (Wachstum), \(0<a<1\Rightarrow k<0\) (Zerfall), \(a=1\Rightarrow k=0\).
• Beispiele:\(2^{x}=e^{0{,}693x}\), \(0{,}8^{x}=e^{-0{,}223x}\), \(1{,}05^{t}=e^{0{,}0488t}\).
• Rückweg:\(e^{0{,}2x}=\left(e^{0{,}2}\right)^{x}\approx1{,}221^{x}\) — Wachstumsfaktor \(a=e^{k}\).

Sortiere die sechs Funktionen nach ihrer Wachstumskonstanten \(k\) — von der kleinsten oben bis zur größten unten. Ziehen mit der Maus oder Karte mit Leertaste aufnehmen, mit den Pfeiltasten verschieben und mit Leertaste ablegen. Dann „Prüfen“.

Halte fest: Um Exponentialfunktionen zu vergleichen, rechnet man jede Basis in \(k=\ln a\) um. Der Vorfaktor ändert \(k\) nicht, und \(k\) liegt immer etwas unter dem Prozentsatz \(a-1\).

Mit der Kettenregel aus 5.2.1 lässt sich jetzt jede Exponentialfunktion ableiten.

• Umschreiben:\(\left(a^{x}\right)'=\left(e^{x\cdot\ln a}\right)'=\ln a\cdot e^{x\cdot\ln a}=\ln a\cdot a^{x}\).
• Beispiel 1:\(\left(2^{x}\right)'=\ln2\cdot2^{x}\approx0{,}693\cdot2^{x}\) — der Faktor aus 5.1.2 ist \(\ln2\).
• Beispiel 2:\(f(t)=500\cdot0{,}8^{t}\Rightarrow f'(t)=500\cdot\ln0{,}8\cdot0{,}8^{t}\approx-111{,}6\cdot0{,}8^{t}\).
• Halbwertszeit:aus \(k=\ln0{,}8\approx-0{,}223\) folgt \(T_{1/2}=\frac{\ln2}{|k|}\approx3{,}1\) Zeiteinheiten.