Wertsteigerung von Gemälden
AFB I–IIEin Kunsthändler kauft ein Gemälde für \(12\,000\) €. Sein Wert wird durch \(W(t)=12\cdot1{,}045^{t}\) beschrieben (\(t\) in Jahren seit dem Kauf, \(W\) in Tausend €). Ein zweites Gemälde kostet \(15\,000\) €; sein Wert wird durch \(V(t)=15\cdot e^{0{,}03t}\) beschrieben.
- Geben Sie die jährliche prozentuale Wertsteigerung von \(W\) an und schreiben Sie \(W\) in der Form \(W(t)=12\cdot e^{kt}\).
- Berechnen Sie \(W^{\prime}(10)\) und deuten Sie den Wert im Sachzusammenhang.
- Zeigen Sie, dass sich der Wert von \(W\) nach knapp \(16\) Jahren verdoppelt hat.
- Ermitteln Sie, nach wie vielen Jahren beide Gemälde gleich viel wert sind, und vergleichen Sie die prozentualen Wertsteigerungen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
solve(12·1.045^t=15·e^(0.03t),t).Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(4{,}5\,\%\) pro Jahr. \(k=\ln1{,}045\approx0{,}0440\), also \(W(t)=12\cdot e^{0{,}0440t}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(W^{\prime}(t)=12\cdot\ln1{,}045\cdot1{,}045^{t}\), \(W^{\prime}(10)\approx0{,}820\). Nach zehn Jahren steigt der Wert momentan um etwa \(820\) € pro Jahr.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(T_{2}=\frac{\ln2}{\ln1{,}045}\approx15{,}75\) Jahre, also knapp \(16\) Jahre. (Alternativ: \(W(15{,}75)\approx24{,}0=2\cdot12\).)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(e^{(0{,}0440-0{,}03)t}=1{,}25\Rightarrow t=\frac{\ln1{,}25}{\ln1{,}045-0{,}03}\approx15{,}9\) Jahre (Wert dann je etwa \(24{,}2\) Tausend €).
\(V\) wächst pro Jahr um \(e^{0{,}03}-1\approx3{,}05\,\%\), also langsamer als \(W\) mit \(4{,}5\,\%\). Vergleich nur sinnvoll in derselben Form — entweder beide Faktoren oder beide \(k\) (\(0{,}0440\) gegen \(0{,}03\)).
Abbau eines Schmerzmittels
AFB II–IIINach der Einnahme eines Schmerzmittels wird die Wirkstoffmenge im Blut stündlich gemessen (Einnahme bei \(t=0\), Wirkstoff vollständig aufgenommen).
| \(t\) in h | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Wirkstoff in mg | 400 | 289 | 209 | 151 | 109 |
- Bestimmen Sie mit einer exponentiellen Regression ein Modell der Form \(f(t)=a\cdot b^{t}\) und schreiben Sie es in der Form \(f(t)=a\cdot e^{kt}\).
- Erläutern Sie den Unterschied zwischen der prozentualen Abnahme pro Stunde und der Konstante \(k\).
- Das Mittel verliert seine Wirkung, sobald der Körper weniger als \(10\,\mathrm{mg}\) pro Stunde abbaut. Untersuchen Sie, ab welchem Zeitpunkt das der Fall ist.
- Auf dem Beipackzettel steht: „Bei \(15\,\%\) Abbau pro Stunde ist das Mittel nach knapp \(7\) Stunden vollständig abgebaut.“ Beurteilen Sie diese Aussage.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Regression: \(a\approx400\), \(b\approx0{,}850\), also \(f(t)=400\cdot0{,}85^{t}\). Mit \(k=\ln0{,}85\approx-0{,}1625\): \(f(t)=400\cdot e^{-0{,}1625t}\). (Der fx-CG50 liefert \(a\cdot e^{bx}\) direkt mit \(b\approx-0{,}1625\).)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Pro Stunde bleibt \(85\,\%\) übrig: Abnahme um \(15\,\%\) pro Stunde (Vergleich zweier Zeitpunkte im Abstand 1 h). \(k\approx-0{,}1625\) beschreibt die momentane Abbaugeschwindigkeit relativ zum Bestand: in jedem Moment baut der Körper \(16{,}25\,\%\) des aktuellen Bestands pro Stunde ab. Weil der Bestand während der Stunde schrumpft, ist die tatsächliche Abnahme in einer Stunde kleiner als \(16{,}25\,\%\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(0{,}1625\cdot400\cdot0{,}85^{t}<10\Leftrightarrow0{,}85^{t}<0{,}1538\Leftrightarrow t>\frac{\ln0{,}1538}{\ln0{,}85}\approx11{,}5\). Nach etwa \(11{,}5\) Stunden (Wirkstoffmenge dann ca. \(61{,}5\,\mathrm{mg}\)) lässt die Wirkung nach.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Rechnung \(100:15\approx6{,}7\) unterstellt eine lineare Abnahme um jeweils \(15\,\%\) der Anfangsmenge (\(60\,\mathrm{mg}\) pro Stunde). Tatsächlich bezieht sich die Abnahme auf den aktuellen Bestand: \(f(7)\approx128\,\mathrm{mg}\). Da \(e^{-0{,}1625t}>0\) für alle \(t\), wird der Wirkstoff im Modell nie vollständig abgebaut; die Aussage ist falsch. Vollständig ist die Antwort, wenn der Denkfehler benannt, mit einem Modellwert widerlegt und die Modellgrenze angesprochen wird.