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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Wohin für x → +∞?
AFB IOrdnen Sie jede Funktion ihrem Verhalten für \(x\to+\infty\) zu.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1f(x) → +∞
2f(x) → −∞
3f(x) → 0
Wächst der e-Faktor (\(e^{x}\)), setzt er sich durch; das Vorzeichen des Polynoms entscheidet über \(+\infty\) oder \(-\infty\): \((1-x)\to-\infty\), also \((1-x)e^{x}\to-\infty\). Schrumpft der e-Faktor (\(e^{-x}\)), gewinnt er ebenfalls — egal wie hoch die Potenz ist: \(x^{5}e^{-x}\to0\). Bei \(2x+e^{-x}\) verschwindet der e-Summand, übrig bleibt \(2x\to+\infty\).
Ansatz: Erst klären: Wächst der e-Teil für \(x\to+\infty\) oder geht er gegen \(0\)?
Weiter: Bei Summen: Welcher Summand wird riesig, welcher verschwindet?
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IGegeben ist \(f(x)=(x+3)\cdot e^{x}\). Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Links von \(x=-3\) ist \(f(x)<0\), der Graph kommt also von unten an die \(x\)-Achse heran. Die „Nahansicht“ bei \(x=-10\) (\(f\approx-0{,}0003\)) zeigt fast schon \(0\).
Ansatz: Nullstellen: Satz vom Nullprodukt. Grenzwerte: Wer gewinnt, \(x+3\) oder \(e^{x}\)?
Weiter: Für \(x\to-\infty\) geht \(e^{x}\to0\) — schneller, als jedes Polynom wächst.
A3
Nullstelle mit dem Nullprodukt
AFB IBerechnen Sie die Nullstelle von \(f(x)=(2x-5)\cdot e^{-x}\).
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\((2x-5)\cdot e^{-x}=0\Leftrightarrow2x-5=0\), denn \(e^{-x}>0\) für alle \(x\). Also \(x=2{,}5\) — eine einzige Nullstelle, obwohl ein e-Term dabei ist.
Ansatz: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn ein Faktor 0 ist.
Weiter: \(e^{-x}=0\) hat keine Lösung — es bleibt \(2x-5=0\).
A4
Nullstellen-Tabelle
AFB IIBestimmen Sie jeweils beide Nullstellen (kleinere links).
Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| Funktion | \(x_{1}\) | \(x_{2}\) |
|---|---|---|
| \((x^{2}-6x+5)\cdot e^{0{,}3x}\) | ||
| \((x^{2}-x-6)\cdot e^{x}\) | ||
| \((x^{2}+2x)\cdot e^{-x}\) |
Der e-Faktor spielt für die Nullstellen keine Rolle — es bleibt jeweils eine quadratische Gleichung: \(x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5)\), \(x^{2}-x-6=(x+2)(x-3)\), \(x^{2}+2x=x(x+2)\).
Ansatz: e-Faktor ignorieren, dann pq-Formel oder Faktorisieren.
Weiter: Bei \(x^{2}+2x\) einfach \(x\) ausklammern: \(x(x+2)=0\).
A5
Welche Asymptote?
AFB IIErmitteln Sie für jede Funktion die Asymptote und verbinden Sie passend. Achten Sie auch auf die Richtung.
Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Additiv verknüpft: Der e-Summand verschwindet in einer Richtung, übrig bleibt das Polynom als Asymptote — bei \(e^{-x}\) für \(x\to+\infty\), bei \(e^{x}\) für \(x\to-\infty\). Multiplikativ verknüpft: Der schrumpfende e-Faktor drückt alles auf \(0\), die \(x\)-Achse ist Asymptote. Bei f) geht \(x^{2}e^{x}\to0\), es bleibt \(y=3\).
Ansatz: In welche Richtung geht der e-Teil gegen \(0\)? Genau dort gibt es die Asymptote.
Weiter: Summe: Asymptote = der Rest ohne e-Teil. Produkt: Asymptote \(y=0\).
A6
Steckbrief eines Graphen
AFB II MixBeschreiben Sie den Graphen von \(g(x)=(x-1)\cdot e^{x}\), indem Sie die Lücken füllen. Für die Ableitung brauchen Sie die Produktregel aus 5.2.3.
Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag und prüfen Sie dann alle auf einmal.
Nullstelle: \(x=\)
Für \(x\to+\infty\) gilt \(g(x)\to\)
Für \(x\to-\infty\) gilt \(g(x)\to\)
Dabei nähert sich der Graph der \(x\)-Achse
\(g'(x)=\)
Waagerechte Tangente bei \(x=\)
\(g^{\prime}(x)=1\cdot e^{x}+(x-1)\,e^{x}=x\,e^{x}\) — bei \(x=0\) liegt der Tiefpunkt \((0\,|\,-1)\). Für \(x<1\) ist \(x-1<0\), also \(g(x)<0\): Der Graph kommt von unten an die \(x\)-Achse heran.
Ansatz: Vorzeichen von \(x-1\) für sehr kleine \(x\) bestimmen — daran sehen Sie, von welcher Seite der Graph kommt.
Weiter: Produktregel: \(u=x-1\), \(u^{\prime}=1\), \(v=v^{\prime}=e^{x}\).
A7
Fehlersuche: Nullstellen und Grenzwerte
AFB IIMia untersucht \(f(x)=(x^{2}-10)\cdot e^{-x}\). Überprüfen Sie ihre Notizen — zwei Zeilen sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
Zwei Standardfehler: „\(e^{\dots}=0\)“ hat nie eine Lösung, und bei \(x\to+\infty\) entscheidet der e-Faktor, nicht das Polynom. Richtig: Nullstellen \(\pm\sqrt{10}\), \(f(x)\to0\) für \(x\to\infty\), \(f(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\).
Ansatz: Welchen Wert hat \(e^{0}\)? Und wer gewinnt für \(x\to\infty\): \(x^{2}\) oder \(e^{-x}\)?
Weiter: Zeile 5 stimmt: Für \(x\to-\infty\) wächst \(x^{2}-10\) und \(e^{-x}\) wächst ebenfalls.
A8
Eigenschaften erkennen
AFB IIIGegeben ist \(f(x)=(x+2)^{2}\cdot e^{-x}\). Entscheiden Sie, welche Aussagen zutreffen, und markieren Sie alle.
Mehrere Antworten sind richtig. Markieren Sie alle zutreffenden und klicken Sie dann auf „Prüfen“.
\((x+2)^{2}=0\) liefert nur \(x=-2\) (doppelt — der Graph berührt dort die \(x\)-Achse). Weil \((x+2)^{2}\ge0\) und \(e^{-x}>0\), ist \(f\) nie negativ. Für \(x\to-\infty\) wachsen beide Faktoren, \(f(0)=4\cdot1=4\).
Ansatz: Ein Quadrat ist nie negativ, \(e^{-x}\) auch nicht — was folgt für das Vorzeichen von \(f\)?
Weiter: Für \(x\to-\infty\) wird \(e^{-x}\) riesig — dort gibt es keine waagerechte Asymptote.
A9
Wer ist für große x am größten?
AFB IIIVergleichen Sie die Funktionen für sehr große \(x\) (\(x\to\infty\)) und ordnen Sie vom kleinsten zum größten Funktionswert.
Ziehen Sie die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
150x² · e⁻ˣ
2100x
3x⁶
40,001 · eˣ
5x · eˣ
\(50x^{2}e^{-x}\to0\); \(100x\) wächst linear, \(x^{6}\) schneller. Jede e-Funktion \(c\cdot e^{x}\) mit \(c>0\) überholt irgendwann jede Potenz — bei \(x=30\): \(x^{6}\approx7{,}3\cdot10^{8}\), \(0{,}001e^{30}\approx1{,}1\cdot10^{10}\). Ganz vorn: \(x\cdot e^{x}\), das \(e^{x}\) noch mit \(x\) multipliziert.
Ansatz: Zuerst: Welche Funktionen haben einen wachsenden e-Faktor, welche einen schrumpfenden, welche gar keinen?
Weiter: Der kleine Vorfaktor \(0{,}001\) verzögert das Überholen nur — er verhindert es nicht.
A10
Wie viele Nullstellen?
AFB III TrickUntersuchen Sie, wie viele Nullstellen \(f(x)=(x^{2}+2x+5)\cdot e^{-x}\) hat, und tragen Sie die Anzahl ein.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(e^{-x}\) wird nie \(0\); bleibt \(x^{2}+2x+5=0\). pq-Formel: \(x=-1\pm\sqrt{1-5}=-1\pm\sqrt{-4}\) — keine reelle Lösung. Anders geschrieben: \(x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4\ge4\). Der Graph verläuft ganz oberhalb der \(x\)-Achse.
Ansatz: Satz vom Nullprodukt — und dann genau hinschauen, ob die quadratische Gleichung überhaupt lösbar ist.
Weiter: Diskriminante: \(\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=1-5<0\).