Summe und Produkt mit Polynomen
Verknüpft man \(e^{x}\) additiv oder multiplikativ mit einem Polynom, entscheidet für große \(|x|\) fast immer der e-Faktor.
- Additiv:\(f(x)=x+e^{x}\) — für \(x\to-\infty\) geht \(e^{x}\to0\), der Graph schmiegt sich an die Gerade \(y=x\).
- Multiplikativ:\(f(x)=x^{2}\cdot e^{-x}\) — ein Polynom mal ein e-Faktor.
- Dominanz:\(e^{x}\) wächst für \(x\to\infty\) schneller als jede Potenz \(x^{n}\); also \(x^{n}\cdot e^{-x}\to0\).
- Für x → −∞:\(e^{x}\to0\) schneller, als \(x^{n}\) wächst: \(x^{n}\cdot e^{x}\to0\).
- Vorzeichen:wächst der e-Faktor, bestimmt das Vorzeichen des Polynoms, ob \(+\infty\) oder \(-\infty\) herauskommt.
Sage zuerst für beide Richtungen voraus, wohin \(f(x)\) läuft. Dann „Prüfen“: Links siehst du den Graphen aus der Nähe, rechts aus der Ferne mit gestauchter \(y\)-Achse.
Halte fest: \(e^{x}\) setzt sich gegen jede Potenz durch — beim Wachsen für \(x\to\infty\) und beim Schrumpfen gegen \(0\) für \(x\to-\infty\). Die Nahansicht kann täuschen.
Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt
Weil \(e^{v(x)}\) nie \(0\) wird, entscheidet bei einem Produkt allein der Polynomfaktor über die Nullstellen.
- Satz vom Nullprodukt:ein Produkt ist genau dann \(0\), wenn ein Faktor \(0\) ist.
- Beispiel:\((x^{2}-4)\cdot e^{0{,}5x}=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x^{2}-4=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=-2\) oder \(x=2\).
- Summe:\(x+e^{x}=0\) lässt sich nicht nach \(x\) umstellen — hier hilft nur ein Näherungsverfahren.
- GTR (fx-CG50):im Menü Graph \(Y1=X+e^{X}\) zeichnen, dann SHIFT F5 (G-SOLVE), F1 (ROOT): \(x\approx-0{,}5671\).
- CAS (TI-Nspire):
nSolve(x+e^(x)=0,x)liefert \(x\approx-0{,}567143\).
Nullstellen von Polynom mal e-Faktor: \(p(x)\cdot e^{v(x)}=0\ \Leftrightarrow\ p(x)=0\)
Allgemeine Hinweise
Nicht durch x teilen
Aus \(x^{2}e^{x}=x\,e^{x}\) wird durch Teilen durch \(x\,e^{x}\) nur \(x=1\). Die Lösung \(x=0\) geht verloren — besser alles auf eine Seite und ausklammern.
Nahansicht täuscht
\(e^{x}-x^{4}\) ist bei \(x=3\) noch stark negativ. Erst ab etwa \(x\approx8{,}6\) überholt \(e^{x}\) die Potenz \(x^{4}\).
Begründen mit Dominanz
Formuliere so: „Für \(x\to\infty\) geht \(e^{-x}\to0\) schneller, als \(x^{3}\) wächst, also \(f(x)\to0\).“ Eine Wertetabelle allein ist keine Begründung.