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Abituraufgaben: Verknüpfte Funktionen

Grenzverhalten, Nullstellen und Asymptoten im Kontext — zwei Abituraufgaben zu verknüpften Funktionen.

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Welcher Graph passt?

AFB I–II

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=(x^{2}-2x)\cdot e^{-x}\), \(x\in\mathbb R\). Die Abbildung zeigt drei Graphen, von denen genau einer zu \(f\) gehört.

Drei Graphen (Skizze)
−2−1123456−1123xyABC
Einer der Graphen gehört zu f.
  1. Berechnen Sie die Nullstellen von \(f\).
  2. Beschreiben Sie das Verhalten von \(f\) für \(x\to+\infty\) und \(x\to-\infty\) und geben Sie die Asymptote an.
  3. Ordnen Sie \(f\) den passenden Graphen zu und begründen Sie, warum die beiden anderen Graphen ausscheiden.
  4. Es gilt \(f^{\prime}(x)=(-x^{2}+4x-2)\cdot e^{-x}\). Bestimmen Sie die Stellen, an denen der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente hat, und die zugehörigen Funktionswerte.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Satz vom Nullprodukt; \(x\) ausklammern.
Hinweis zu Aufgabe b)
Dominanz des e-Faktors: \(e^{-x}\to0\) für \(x\to\infty\), \(e^{-x}\to\infty\) für \(x\to-\infty\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Graphen haben die Nullstellen aus a)? Welcher davon zeigt das Verhalten aus b)?Zuordnen: Zusammenhänge begründet herstellen.
Hinweis zu Aufgabe d)
\(-x^{2}+4x-2=0\) mit der pq-Formel (vorher mit \(-1\) multiplizieren). GTR: SHIFT F5 (G-SOLVE) → F1 (ROOT) auf \(f^{\prime}\) oder F2 (MAX) auf \(f\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(x(x-2)\cdot e^{-x}=0\Leftrightarrow x=0\) oder \(x=2\), da \(e^{-x}\neq0\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(x\to+\infty\): \(e^{-x}\to0\) setzt sich gegen \(x^{2}-2x\) durch, \(f(x)\to0\); die \(x\)-Achse ist Asymptote. \(x\to-\infty\): \(x^{2}-2x\to+\infty\) und \(e^{-x}\to+\infty\), also \(f(x)\to+\infty\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Graph B. A hat keine Nullstelle bei \(x=0\) (dort \(y=1\)), scheidet also aus. C hat zwar die Nullstellen \(0\) und \(2\), steigt aber für \(x\to+\infty\) über alle Grenzen und nähert sich links der \(x\)-Achse — das Verhalten von \((x^{2}-2x)\,e^{x}\), nicht von \(f\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(x^{2}-4x+2=0\Leftrightarrow x=2\pm\sqrt2\). \(x_{1}\approx0{,}586\) mit \(f(x_{1})\approx-0{,}461\) (Tiefpunkt), \(x_{2}\approx3{,}414\) mit \(f(x_{2})\approx0{,}159\) (Hochpunkt, laut Graph B).

2

Besucher einer Website

AFB II–III

Nach dem Start einer Werbekampagne wird die Zahl der täglichen Besucher einer Website modelliert durch \(B(t)=12t^{2}\cdot e^{-0{,}5t}\) (\(t\) in Tagen seit Kampagnenstart, \(B\) in Tausend Besuchern pro Tag).

  1. Interpretieren Sie \(B(0)\) und \(B(10)\) im Sachzusammenhang.
  2. Begründen Sie ohne Wertetabelle, wie sich die Besucherzahl langfristig entwickelt.
  3. Ermitteln Sie, an welchem Tag die Besucherzahl am größten ist, und geben Sie diese an.
  4. Tatsächlich besuchen auch ohne Kampagne täglich etwa \(2000\) Personen die Seite. Ein verbessertes Modell ist \(C(t)=B(t)+2\). Untersuchen Sie, wie sich das Langzeitverhalten ändert und ab welchem Tag weniger als \(3000\) Besucher pro Tag zu erwarten sind.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Einsetzen; auf die Einheit „Tausend pro Tag“ achten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welcher Faktor dominiert für \(t\to\infty\)? Die Begründung soll ohne Zahlenbeispiele auskommen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Produktregel: \(B^{\prime}(t)=24t\,e^{-0{,}5t}+12t^{2}\cdot(-0{,}5)\,e^{-0{,}5t}\). Dann \(6t\) ausklammern. GTR: SHIFT F5 → F2 (MAX).Ermitteln: Weg frei wählbar — rechnerisch oder mit dem GTR.
Hinweis zu Aufgabe d)
Additiver Summand \(2\): Wohin geht \(C\)? Ungleichung \(C(t)<3\Leftrightarrow B(t)<1\); CAS: nSolve(12t^2·e^(−0.5t)=1,t,10), GTR: G-SOLVE → F5 (INTSECT) mit \(Y2=1\). Achtung: Es gibt zwei Schnittstellen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(B(0)=0\): Beim Start zählt das Modell noch keine Kampagnenbesucher. \(B(10)=1200\,e^{-5}\approx8{,}09\): Am 10. Tag kommen etwa \(8\,100\) Besucher.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(12t^{2}\) wächst, aber \(e^{-0{,}5t}\to0\) schneller, als jede Potenz wächst. Also \(B(t)\to0\) für \(t\to\infty\): Die Kampagne verliert ihre Wirkung, die \(t\)-Achse ist Asymptote.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(B^{\prime}(t)=(24t-6t^{2})\,e^{-0{,}5t}=6t(4-t)\,e^{-0{,}5t}\). Für \(t>0\): \(B^{\prime}(t)=0\Leftrightarrow t=4\); Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\). \(B(4)=192\,e^{-2}\approx25{,}98\): Am 4. Tag kommen mit etwa \(26\,000\) die meisten Besucher.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(C(t)\to0+2=2\): Die Gerade \(y=2\) ist waagerechte Asymptote — langfristig bleiben die \(2000\) Stammbesucher. \(C(t)<3\Leftrightarrow12t^{2}e^{-0{,}5t}<1\). Die Gleichung hat die Lösungen \(t\approx0{,}31\) und \(t\approx16{,}08\); die erste liegt in der Anlaufphase. Ab etwa dem 17. Tag (\(t>16{,}1\)) sind weniger als \(3000\) Besucher pro Tag zu erwarten.