MINT lernen

Textaufgaben3.0.1 Bruchrechnung

Zwei Sachaufgaben mit Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont — vom Kuchenbasar bis zum Anteil vom Anteil.

1

Der Kuchenbasar der Klasse 8b

AFB I–II

Beim Schulfest verkauft die Klasse 8b zwei gleich große Blechkuchen. Jedes Blech ist in 12 gleich große Stücke geschnitten (Material M1).

Vom Marmorkuchen werden in der ersten Pause 5 Stücke verkauft, in der zweiten Pause noch einmal 4 Stücke. Vom Apfelkuchen sind nach beiden Pausen zusammen 9 Stücke verkauft.

M1Die beiden Bleche nach der zweiten Pause
Marmorkuchen Apfelkuchen 1. Pause 2. Pause verkauft übrig

Beide Bleche sind gleich groß und in gleich viele Stücke geteilt — nur so darfst du die Anteile direkt vergleichen.

  1. Gib als Bruch an, welcher Anteil des Marmorkuchens in der ersten Pause verkauft wurde.
  2. Berechne, welcher Anteil des Marmorkuchens nach beiden Pausen verkauft ist, und gib das Ergebnis vollständig gekürzt an.
  3. Nele behauptet: „Vom Marmorkuchen ist mehr verkauft als vom Apfelkuchen — beim Marmorkuchen habe ich schließlich zweimal etwas dazugerechnet.“ Prüfe die Behauptung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Im Nenner steht, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt ist, im Zähler, wie viele davon verkauft sind.„Gib an“ verlangt nur das Ergebnis — hier also einen einzigen Bruch, ohne Rechenweg.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Das Blech besteht aus 12 gleich großen Stücken, 5 davon sind verkauft.

Verkaufter Anteil in der ersten Pause: \(\frac{5}{12}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Beide Anteile haben denselben Nenner, du addierst also nur die Zähler — der Nenner bleibt stehen. Suche danach eine Zahl, durch die Zähler und Nenner ohne Rest teilbar sind.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\frac{5}{12}+\frac{4}{12}=\frac{5+4}{12}=\frac{9}{12}\)

Kürzen mit 3: \(\frac{9}{12}=\frac{9:3}{12:3}=\frac{3}{4}\)

Nach beiden Pausen sind \(\frac{3}{4}\) des Marmorkuchens verkauft, also 9 der 12 Stücke.

Hinweis zu Aufgabe c)
Schreibe für beide Kuchen den verkauften Anteil als Bruch auf und kürze beide. Erst danach kannst du vergleichen — und dann prüfen, ob Neles Begründung überhaupt etwas mit der Größe des Anteils zu tun hat.„Prüfen“ heißt: die Behauptung an den berechneten Zahlen messen und klar sagen, ob sie stimmt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Apfelkuchen: \(\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\). Marmorkuchen: ebenfalls \(\frac{3}{4}\).

Die Behauptung ist falsch: Von beiden Kuchen ist genau derselbe Anteil verkauft, nämlich \(\frac{3}{4}\) bzw. 9 von 12 Stücken.

Neles Begründung trägt nicht. Wie oft zwischendurch etwas dazugerechnet wird, sagt nichts über die Summe aus — entscheidend ist allein, wie viele Stücke am Ende zusammenkommen. \(\frac{5}{12}+\frac{4}{12}\) ergibt genauso \(\frac{9}{12}\) wie ein einziger Verkauf von 9 Stücken.

2

Die Schichten am Getränkestand

AFB II–III

Die Klasse 8b hat 28 Schülerinnen und Schüler. \(\frac{3}{4}\) der Klasse tragen sich für einen Dienst am Getränkestand ein. Von den Eingetragenen übernimmt \(\frac{1}{3}\) die Spätschicht nach 16 Uhr, alle übrigen Eingetragenen die Frühschicht.

Material M2 zeigt die Klasse als Rechteck aus 12 gleich großen Feldern.

M2Anteilsbild: ein Drittel von drei Vierteln
eingetragen: 3 von 4 Spalten 1 von 3 Zeilen Spätschicht Frühschicht nicht eingetragen

Jedes der 12 Felder steht für denselben Anteil der Klasse. Die dunklen Felder liegen sowohl im Bereich „eingetragen“ als auch in der Zeile „Spätschicht“.

  1. Berechne, wie viele Schülerinnen und Schüler sich eingetragen haben.
  2. Bestimme den Anteil der gesamten Klasse, der die Spätschicht übernimmt, als Bruch und als Anzahl.
  3. Jonas sagt: „Ein Drittel von drei Vierteln muss doch mehr sein als drei Viertel — ich rechne ja zwei Brüche zusammen.“ Widerlege seine Aussage und erkläre mithilfe von M2, warum das Ergebnis kleiner sein muss.
  4. Berechne, welcher Anteil der ganzen Klasse die Frühschicht übernimmt, und prüfe dein Ergebnis mit einer Probe.
Hinweis zu Aufgabe a)
Ein Viertel der Klasse sind \(28:4=7\) Personen. Überlege, wie viele Viertel gesucht sind.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\frac{1}{4}\) der Klasse: \(28:4=7\)

\(\frac{3}{4}\) der Klasse: \(3\cdot 7=21\)

Es haben sich 21 Schülerinnen und Schüler eingetragen.

Hinweis zu Aufgabe b)
„Ein Drittel von drei Vierteln“ ist eine Multiplikation: \(\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}\). Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner — und danach kürzen. In M2 kannst du das Ergebnis abzählen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)

Anzahl: \(\frac{1}{3}\cdot 21=7\) — oder direkt \(\frac{1}{4}\cdot 28=7\).

Genau \(\frac{1}{4}\) der Klasse, also 7 Schülerinnen und Schüler, übernimmt die Spätschicht. In M2 sind das die 3 dunklen von 12 Feldern, und \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche dein Ergebnis aus b) mit \(\frac{3}{4}\). Schau dann in M2 nach, ob die dunklen Felder innerhalb oder außerhalb des hellblauen Bereichs liegen.„Widerlegen“ verlangt den Nachweis, dass die Aussage nicht stimmt — hier durch die berechneten Zahlen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch: \(\frac{1}{4}<\frac{3}{4}\), das Ergebnis ist also kleiner als \(\frac{3}{4}\) — und mit \(\frac{1}{4}<\frac{1}{3}\) sogar kleiner als beide Faktoren.

Jonas verwechselt „von“ mit „dazu“. Bei \(\frac{1}{3}\;\text{von}\;\frac{3}{4}\) wird nichts hinzugefügt, sondern der schon vorhandene Anteil noch einmal geteilt: In M2 liegen die dunklen Felder innerhalb des hellblauen Bereichs. Ein Teil eines Teils kann nie größer sein als das, wovon er ein Teil ist.

Nur beim Addieren würde der Anteil wachsen: \(\frac{1}{3}+\frac{3}{4}=\frac{4}{12}+\frac{9}{12}=\frac{13}{12}>1\) — das wäre mehr als die ganze Klasse und im Sachzusammenhang unmöglich.

Hinweis zu Aufgabe d)
Von den Eingetragenen bleiben \(\frac{2}{3}\) übrig. Für die Probe müssen Frühschicht, Spätschicht und die nicht Eingetragenen zusammen die ganze Klasse ergeben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\), also \(\frac{1}{2}\cdot 28=14\) Personen.

Probe: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1\) bzw. \(14+7+7=28\).

Die Frühschicht übernimmt die Hälfte der Klasse (14 Personen). Frühschicht, Spätschicht und die 7 nicht Eingetragenen ergeben zusammen genau die ganze Klasse — die Rechnung ist stimmig.