MINT lernen

Textaufgaben3.1.2 Pfadregel: Multiplikationsregel

Zwei Sachaufgaben mit Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont — von zwei Freiwürfen bis zur Pralinenschachtel.

1

Zwei Freiwürfe beim Basketball

AFB I–II

Lena trifft beim Freiwurf erfahrungsgemäß in 70 % der Fälle. Nach einem Foul darf sie zweimal hintereinander werfen. Die beiden Würfe beeinflussen sich nicht gegenseitig — bei jedem Wurf bleibt es bei der Trefferquote 0,7 (Material M1).

M1Baumdiagramm der beiden Freiwürfe
Start T F T F T F 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 TT TF FT FF 1. Wurf 2. Wurf

T steht für Treffer, F für Fehlwurf. Die Werte der zweiten Stufe sind dieselben wie in der ersten — die Würfe sind unabhängig.

  1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Lena beide Freiwürfe trifft, und gib sie in Prozent an.
  2. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der drei übrigen Pfade und prüfe deine Ergebnisse mit der Pfadsumme.
  3. Tom sagt: „Sie trifft zu 70 %. Bei zwei Würfen sind das \(70\,\%+70\,\%=140\,\%\).“ Widerlege seine Rechnung und erkläre, warum entlang eines Pfades multipliziert wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Pfades TT. Nach der 1. Pfadregel multiplizierst du die beiden Astwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(P(\text{TT})=0{,}7\cdot 0{,}7=0{,}49\)

Lena trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 49 % beide Freiwürfe — also in etwa jedem zweiten Fall.

Hinweis zu Aufgabe b)
Gehe jeden Pfad einzeln von links nach rechts durch. Zur Kontrolle müssen die vier Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(\text{TF})=0{,}7\cdot 0{,}3=0{,}21\)

\(P(\text{FT})=0{,}3\cdot 0{,}7=0{,}21\)

\(P(\text{FF})=0{,}3\cdot 0{,}3=0{,}09\)

Pfadsumme: \(0{,}49+0{,}21+0{,}21+0{,}09=1\) — die vier Pfade erfassen alle Möglichkeiten, die Rechnungen sind stimmig.

Hinweis zu Aufgabe c)
Eine Wahrscheinlichkeit kann nie größer als 1 bzw. 100 % sein — das allein entlarvt Toms Ergebnis. Überlege dann: Von den 70 % der Fälle mit erstem Treffer wird im zweiten Wurf wieder nur ein Teil zum Treffer.„Widerlegen“ verlangt den Nachweis, dass die Aussage falsch ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Toms Ergebnis ist schon deshalb unmöglich, weil keine Wahrscheinlichkeit größer als 100 % sein kann. Tatsächlich gilt \(P(\text{TT})=0{,}49\), also 49 % statt 140 %.

Entlang eines Pfades wird multipliziert, weil die zweite Stufe nur noch einen Anteil des Anteils betrifft: In 70 % aller Versuche fällt der erste Treffer, und von diesen 70 % sind wieder 70 % auch im zweiten Wurf erfolgreich. Also \(0{,}7\cdot 0{,}7=0{,}49\).

Addiert wird erst dann, wenn ein Ereignis aus mehreren verschiedenen Pfaden besteht — nicht innerhalb eines Pfades.

2

Die Pralinenschachtel

AFB II–III

In einer Schachtel liegen 12 gleich aussehende Pralinen, davon 4 mit Nussfüllung (Material M2). Jan nimmt sich nacheinander zwei Pralinen und isst jede sofort auf — er zieht also ohne Zurücklegen.

M2Inhalt der Schachtel
N N N N Nuss ohne

4 der 12 Pralinen enthalten Nüsse; von außen sind sie nicht zu unterscheiden.

  1. Stelle den Versuch als zweistufiges Baumdiagramm dar und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Pralinen Nussfüllung haben.
  2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Jan keine Praline mit Nuss erwischt, in Prozent (gerundet auf eine Nachkommastelle).
  3. Bei einer zweiten Schachtel legt Jan die erste Praline nach dem Ansehen zurück. Vergleiche für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit „beide mit Nuss“ mit deinem Ergebnis aus a) und begründe den Unterschied.
  4. Jan verträgt keine Nüsse und sagt: „Jede dritte Praline hat Nuss — bei zwei Pralinen erwische ich also ganz sicher eine.“ Beurteile seine Aussage.
Hinweis zu Aufgabe a)
In der ersten Stufe liegen 12 Pralinen in der Schachtel, in der zweiten nur noch 11 — und auch die Anzahl der Nusspralinen hat sich geändert.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

1. Stufe: \(P(N)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\), \(P(\bar N)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\).

2. Stufe nach N (noch 11 Pralinen, davon 3 mit Nuss): \(\frac{3}{11}\) bzw. \(\frac{8}{11}\); nach \(\bar N\) (noch 11 Pralinen, davon 4 mit Nuss): \(\frac{4}{11}\) bzw. \(\frac{7}{11}\).

\(P(\text{NN})=\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{11}=\frac{12}{132}=\frac{1}{11}\approx 0{,}091=9{,}1\,\%\)

Hinweis zu Aufgabe b)
„Keine Nuss“ ist genau der Pfad, bei dem beide Male eine nussfreie Praline gezogen wird. Rechne mit Brüchen und wandle erst zum Schluss in Prozent um.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(\bar N\bar N)=\frac{8}{12}\cdot\frac{7}{11}=\frac{56}{132}=\frac{14}{33}\approx 0{,}424\)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 42,4 % erwischt Jan zweimal eine nussfreie Praline.

Hinweis zu Aufgabe c)
Mit Zurücklegen ist die Schachtel vor dem zweiten Griff wieder vollständig — beide Stufen haben dann dieselben Wahrscheinlichkeiten. Vergleiche danach die beiden zweiten Faktoren miteinander.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit Zurücklegen: \(P(\text{NN})=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\approx 0{,}111=11{,}1\,\%\).

Ohne Zurücklegen sind es nur \(\frac{1}{11}\approx 9{,}1\,\%\), also weniger.

Der Grund liegt allein in der zweiten Stufe: Wird die erste Nusspraline gegessen, bleiben nur noch 3 von 11 Nusspralinen übrig \(\left(\frac{3}{11}\approx 0{,}27\right)\); mit Zurücklegen sind es weiterhin \(\frac{4}{12}\approx 0{,}33\). Der zweite Faktor wird kleiner, also auch das Produkt.

Hinweis zu Aufgabe d)
Dein Ergebnis aus b) beschreibt genau den Fall, den Jan für unmöglich hält. Ein Ereignis ist erst dann sicher, wenn seine Wahrscheinlichkeit 1 beträgt.„Beurteilen“ verlangt ein eigenes Urteil, das du mit deinen Zahlen stützt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Aussage ist falsch. Nach b) passiert genau das Gegenteil — zwei nussfreie Pralinen — in rund 42,4 % der Fälle, also fast so oft wie nicht. „Ganz sicher“ wäre nur bei einer Wahrscheinlichkeit von 1 richtig.

Jan verwechselt einen Anteil mit einer Garantie: Dass im Mittel jede dritte Praline eine Nuss enthält, heißt nicht, dass unter je drei gezogenen Pralinen genau eine Nusspraline sein muss.

Richtig ist: In etwa 57,6 % der Fälle erwischt er mindestens eine Nusspraline — bei einer Allergie ist das Risiko also erheblich, aber eben kein sicheres Ereignis.