Die drei Türen beim Spieleabend
AFB II–IIIBeim Spieleabend der Klasse 8b wird die bekannte Spielshow nachgespielt. Hinter einer von drei Türen liegt ein Kinogutschein, hinter den beiden anderen jeweils ein Gummibärchen als Trostpreis.
Der Ablauf ist immer gleich (Material M1): Zuerst wählst du eine Tür, ohne sie zu öffnen. Danach öffnet der Spielleiter — der weiß, wo der Gutschein liegt — eine der beiden übrigen Türen, hinter der garantiert ein Trostpreis liegt. Zum Schluss darfst du bei deiner Tür bleiben oder auf die letzte verbleibende Tür wechseln.
| Fall (Gutschein liegt …) | Wahrscheinlichkeit | Ergebnis beim Bleiben | Ergebnis beim Wechseln |
|---|---|---|---|
| hinter der gewählten Tür | \(\frac{1}{3}\) | Gewinn | Niete |
| hinter der zweiten Tür | \(\frac{1}{3}\) | Niete | Gewinn |
| hinter der dritten Tür | \(\frac{1}{3}\) | Niete | Gewinn |
In den beiden unteren Fällen muss der Spielleiter genau die eine Tür öffnen, hinter der der Trostpreis liegt — er hat keine Wahl.
- Gib an, mit welcher Wahrscheinlichkeit deine zuerst gewählte Tür den Gutschein verbirgt, und begründe deine Antwort.
- Bestimme mithilfe von M1 die Gewinnwahrscheinlichkeiten für die beiden Strategien „bleiben“ und „wechseln“.
- Ali sagt: „Am Ende sind nur noch zwei Türen übrig — also ist es fifty-fifty, egal was ich mache.“ Widerlege seine Aussage.
- Beim nächsten Durchgang öffnet ein neuer Spielleiter zufällig eine der beiden übrigen Türen — dahinter ist zufällig ein Trostpreis. Beurteile, ob Wechseln jetzt immer noch besser ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(\text{Gutschein hinter der gewählten Tür})=\frac{1}{3}\)
Vor dem Öffnen sind alle drei Türen gleichberechtigt: Es liegt ein Laplace-Versuch mit drei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen vor, und genau eines davon ist günstig.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bleiben: nur die erste Zeile führt zum Gewinn, also \(P(\text{Bleiben})=\frac{1}{3}\approx 33{,}3\,\%\).
Wechseln: die zweite und die dritte Zeile führen zum Gewinn, also \(P(\text{Wechseln})=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\approx 66{,}7\,\%\).
Wechseln verdoppelt die Gewinnchance. Kontrolle: \(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch: Nach b) gewinnt man beim Wechseln mit \(\frac{2}{3}\), beim Bleiben nur mit \(\frac{1}{3}\).
Ali zählt die übrig gebliebenen Türen und schließt daraus auf gleiche Wahrscheinlichkeiten. Das wäre nur bei einem Laplace-Versuch zulässig — hier sind die beiden Türen aber gerade nicht gleichwertig.
Deine erste Tür wurde mit \(\frac{1}{3}\) gewählt, und daran ändert das Öffnen nichts, weil der Spielleiter immer eine Trostpreis-Tür öffnen kann. Die restliche Wahrscheinlichkeit von \(\frac{2}{3}\), die vorher auf zwei Türen verteilt war, sammelt sich deshalb vollständig auf der einen noch verschlossenen Tür.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Nein, in dieser Variante bringt Wechseln keinen Vorteil mehr. Öffnet der Spielleiter zufällig, so deckt er in \(\frac{1}{3}\) aller Durchgänge selbst den Gutschein auf; das Spiel ist dann vorbei.
Von den Durchgängen, in denen ein Trostpreis erscheint, gehören gleich viele zu „deine Tür ist die richtige“ wie zu „die andere Tür ist die richtige“. Beide Strategien gewinnen dann mit \(\frac{1}{2}\) — hier hätte Ali also recht.
Entscheidend ist das Wissen des Spielleiters: Nur wenn er den Gutschein kennt und die geöffnete Tür bewusst meidet, steckt in seinem Öffnen eine Information über die verbliebene Tür.
Gleicher Geburtsmonat in der Vierergruppe
AFB II–IIIFür ein Gruppenpuzzle werden vier Schülerinnen und Schüler zufällig zusammengelost. Die Klasse fragt sich, wie wahrscheinlich es ist, dass in so einer Vierergruppe mindestens zwei im selben Monat Geburtstag haben.
Vereinfachend wird angenommen, dass jeder Monat gleich wahrscheinlich ist und die Geburtsmonate voneinander unabhängig sind. Material M2 zeigt Werte für Gruppen verschiedener Größe.
| Gruppengröße | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| alle Monate verschieden | 91,7 % | 76,4 % | ? | 38,2 % | 22,3 % |
Jede weitere Person hat einen Monat weniger „frei“: aus 12 möglichen Monaten bleiben 11, dann 10, dann 9 …
- Berechne den fehlenden Wert in M2, also die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Vierergruppe alle vier Geburtsmonate verschieden sind.
- Bestimme daraus die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der vier im selben Monat Geburtstag haben.
- Die Klasse tippt vorher auf „ungefähr 10 %“. Vergleiche die Schätzung mit deinem Ergebnis und erkläre mithilfe der Anzahl der möglichen Paare, warum das Bauchgefühl hier täuscht.
- Nach dem Losen stellt sich heraus: Zwei der vier haben tatsächlich im März Geburtstag. Lina sagt: „Dann war die Rechnung falsch — so ein Zufall ist doch viel zu selten.“ Nimm Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(P(\text{alle verschieden})=\frac{12}{12}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{10}{12}\cdot\frac{9}{12}=\frac{990}{1728}\)
\(\frac{990}{1728}\approx 0{,}573=57{,}3\,\%\)
In gut der Hälfte aller Vierergruppen sind alle vier Geburtsmonate verschieden.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(P(\text{mindestens zwei gleich})=1-0{,}573=0{,}427\)
Mit etwa 42,7 %, also in fast jeder zweiten Vierergruppe, haben mindestens zwei Personen im selben Monat Geburtstag.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Schätzung von 10 % liegt weit daneben — der tatsächliche Wert ist mehr als viermal so groß.
Der Grund: Gesucht ist nicht die Übereinstimmung mit einer bestimmten Person, sondern zwischen irgendzwei der vier. Aus vier Personen lassen sich 6 Paare bilden (1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4), und jedes Paar ist eine eigene Gelegenheit für eine Übereinstimmung.
Beim Schätzen denken die meisten nur an sich selbst und vergleichen sich mit drei anderen. Dass die drei anderen auch untereinander übereinstimmen können, wird übersehen — deshalb wirkt das Ergebnis überraschend.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Linas Schluss ist nicht haltbar. Nach b) tritt genau dieser Fall mit rund 42,7 % ein — er ist also fast so häufig wie sein Gegenteil und keineswegs ein außergewöhnlicher Zufall.
Außerdem lässt sich eine Wahrscheinlichkeit nicht an einem einzigen Versuch widerlegen: Sie sagt nur, welcher Anteil auf lange Sicht zu erwarten ist. Selbst ein Ergebnis mit kleiner Wahrscheinlichkeit wäre kein Beweis für einen Rechenfehler.
Prüfen ließe sich das Modell nur mit vielen Gruppen: Man müsste zählen, in wie vielen von ihnen ein Monat doppelt vorkommt, und diese relative Häufigkeit mit 42,7 % vergleichen. Zu bedenken bleibt, dass die Annahme „alle Monate gleich wahrscheinlich“ in Wirklichkeit nur näherungsweise stimmt.