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Das Ziegenproblem
Drei Türen, hinter einer steht ein Auto, hinter zwei je eine Ziege. Nach deiner Wahl öffnet der Moderator eine Ziegentür — solltest du wechseln?
- Regel:der Moderator kennt die Türen und öffnet immer eine Ziegentür.
- Bleiben:gewinnt nur, wenn die erste Wahl schon das Auto war: \(\tfrac13\).
- Wechseln:gewinnt immer, wenn die erste Wahl eine Ziege war: \(\tfrac23\).
- Zusatzinformation:das Öffnen verrät etwas über die beiden anderen Türen, nicht über deine.
Merke
Ziegenproblem: \(P(\text{Gewinn beim Wechseln}) = \tfrac23\), beim Bleiben nur \(\tfrac13\)
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Das Geburtstagsparadoxon
Wie wahrscheinlich haben in einer Klasse mit 23 Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag? Es sind rund 50,7 %.
- Gegenereignis:„alle haben an verschiedenen Tagen Geburtstag“ — nur ein einziger Pfad.
- Ohne Zurücklegen:jeder belegte Tag fällt für die nächste Person weg.
- Rechnung:\(\tfrac{365}{365} \cdot \tfrac{364}{365} \cdot \ldots \cdot \tfrac{343}{365} \approx 0{,}493\).
- Ergebnis:\(1 - 0{,}493 = 0{,}507\).
- Denkfehler:gefragt ist irgendein Paar, nicht der eigene Geburtstag.
Merke
Mindestens-Aufgaben: \(P(E) = 1 - P(\bar E)\)
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Allgemeine Hinweise
Bauchgefühl prüfen
Viele halten beim Ziegenproblem 50 : 50 für richtig. Alle Fälle durchzuspielen oder viele Runden zu spielen zeigt das Gegenteil.
Alle Fälle aufschreiben
Bei drei Türen gibt es nur drei gleich wahrscheinliche Fälle. Eine kleine Tabelle klärt die Frage sofort.
Relative Häufigkeit
Spielst du viele Runden, nähert sich der Anteil der Gewinne der Wahrscheinlichkeit an.