Zwei Lose aus der Tombola-Trommel
AFB I–IIIn der Tombola-Trommel des Schulfests liegen nur noch 5 Lose: 2 Gewinne (G) und 3 Nieten (N). Alle Lose fühlen sich gleich an.
Jan zieht nacheinander zwei Lose ohne Zurücklegen. Material M1 zeigt das begonnene Baumdiagramm; vier Wahrscheinlichkeiten fehlen noch.
G steht für „Gewinn“, N für „Niete“. Das erste Los wird nicht zurückgelegt.
- Zeichne das Baumdiagramm vollständig in dein Heft und beschrifte dabei die vier fehlenden Äste mit ihren Wahrscheinlichkeiten.
- Gib die Ergebnismenge \(\Omega\) des zweistufigen Versuchs an.
- Erkläre, warum in der zweiten Stufe im Nenner 4 statt 5 steht, und prüfe an jedem Verzweigungspunkt die Astsumme.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
1. Zug: \(P(G)=\frac{2}{5}\), \(P(N)=\frac{3}{5}\).
2. Zug nach G (noch 4 Lose, davon 1 Gewinn): \(\frac{1}{4}\) für G und \(\frac{3}{4}\) für N.
2. Zug nach N (noch 4 Lose, davon 2 Gewinne): \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) für G und \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) für N.
Die vier gesuchten Werte sind also \(\frac{3}{5}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{2}{4}\) und \(\frac{2}{4}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\Omega=\{\text{GG};\ \text{GN};\ \text{NG};\ \text{NN}\}\)
Der Versuch hat vier mögliche Ergebnisse — genau so viele wie das Baumdiagramm Pfade hat. GN und NG sind dabei verschiedene Ergebnisse, weil die Reihenfolge der Züge festgehalten wird.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Das gezogene Los wird nicht zurückgelegt. Vor dem zweiten Zug liegen deshalb nur noch 4 Lose in der Trommel, und der Nenner gibt immer die Anzahl der noch möglichen Ergebnisse an. Auch der Zähler ändert sich: Nach einem Gewinn ist nur noch 1 Gewinnlos übrig, nach einer Niete noch 2.
Astsummen: Start \(\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1\); Knoten G \(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\); Knoten N \(\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1\).
An jedem Verzweigungspunkt ergeben die abgehenden Äste zusammen 1 — an dieser Stelle muss ja irgendetwas passieren.
Der Schulweg mit Bus und Zug
AFB II–IIIMia fährt jeden Morgen erst mit dem Bus, dann mit dem Zug. Aus den Aufzeichnungen eines ganzen Halbjahres kennt sie die Werte in Material M2.
Ob sie den Zug erreicht, hängt davon ab, ob der Bus pünktlich war — die zweite Stufe des Versuchs sieht also je nach Ausgang der ersten Stufe anders aus.
| Beobachtung | Anteil |
|---|---|
| Der Bus ist pünktlich. | 0,8 |
| Zug erreicht, wenn der Bus pünktlich war | 0,95 |
| Zug erreicht, wenn der Bus verspätet war | 0,3 |
Die beiden letzten Zeilen gelten jeweils nur für einen bestimmten Ausgang der ersten Stufe.
- Stelle den Schulweg als zweistufiges Baumdiagramm dar und beschrifte alle Äste vollständig mit Wahrscheinlichkeiten.
- Beschreibe in einem Satz, welche Situation der Pfad „Bus verspätet – Zug erreicht“ beschreibt, und gib die Ergebnismenge des Versuchs an.
- Ben rechnet \(0{,}8+0{,}95+0{,}2+0{,}3=2{,}25\) und schließt daraus, dass in M2 ein Fehler stecken muss. Widerlege seinen Schluss.
- Kim schlägt vor, den Schulweg einfacher mit nur einer Stufe („Zug erreicht“ / „Zug verpasst“) darzustellen. Beurteile diesen Vorschlag.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
1. Stufe: „Bus pünktlich“ mit 0,8 und „Bus verspätet“ mit \(1-0{,}8=0{,}2\).
2. Stufe nach „pünktlich“: „Zug erreicht“ 0,95 und „Zug verpasst“ \(1-0{,}95=0{,}05\).
2. Stufe nach „verspätet“: „Zug erreicht“ 0,3 und „Zug verpasst“ \(1-0{,}3=0{,}7\).
P = Bus pünktlich, V = Bus verspätet, E = Zug erreicht, Ē = Zug verpasst.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Pfad beschreibt einen Morgen, an dem der Bus zu spät kommt und Mia den Anschlusszug trotzdem noch erreicht — etwa weil auch der Zug Verspätung hat.
\(\Omega=\{\text{PE};\ \text{P}\bar{\text{E}};\ \text{VE};\ \text{V}\bar{\text{E}}\}\)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bens Rechnung addiert Zahlen, die zu verschiedenen Knoten gehören: 0,8 und 0,2 gehen vom Start aus, 0,95 und 0,05 vom Knoten P, 0,3 und 0,7 vom Knoten V.
Richtig ist die Astsumme knotenweise: \(0{,}8+0{,}2=1\), \(0{,}95+0{,}05=1\), \(0{,}3+0{,}7=1\).
Es steckt also kein Fehler in M2. Bens Summe 2,25 hat keine Bedeutung, weil sie Wahrscheinlichkeiten aus verschiedenen Stufen und Situationen vermischt — die Werte der zweiten Stufe gelten ja jeweils nur unter einer Bedingung.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Der Vorschlag ist nicht geeignet. Ein einstufiger Baum kennt nur die beiden Ausgänge „Zug erreicht“ und „Zug verpasst“; die Angaben aus M2 lassen sich dort gar nicht eintragen, weil sie an die Bedingung „Bus pünktlich“ bzw. „Bus verspätet“ geknüpft sind.
Gerade der Zusammenhang zwischen den Stufen ist hier das Interessante: Die Chance auf den Zug ist mit 0,95 sehr hoch, wenn der Bus pünktlich ist, und mit 0,3 klein, wenn er verspätet ist. Diese Information geht bei einer Stufe verloren.
Sinnvoll wäre ein einstufiges Modell erst, wenn man die Gesamtwahrscheinlichkeit für „Zug erreicht“ schon berechnet hätte — und dazu braucht man wieder den zweistufigen Baum.