Das Hochbeet der Garten-AG
AFB I–IIDie Garten-AG legt hinter der Turnhalle ein rechteckiges Hochbeet an. Die Beetfläche ist 3,2 m lang und 1,5 m breit. Rundherum soll oben eine Abschlussleiste aus Holz laufen; Leisten gibt es im Baumarkt nur in 2,4 m Länge. Reststücke dürfen aneinandergesetzt werden.
| Maß | Wert |
|---|---|
| Länge \(a\) | 3,2 m |
| Breite \(b\) | 1,5 m |
| Länge einer Holzleiste | 2,4 m |
- Berechne den Flächeninhalt der Beetfläche.
- Berechne die Länge der Abschlussleiste und bestimme, wie viele Holzleisten gekauft werden müssen.
- Ein Mitglied schlägt ein quadratisches Beet vor, das genauso viel Leiste braucht. Berechne dessen Seitenlänge und Flächeninhalt und vergleiche mit dem Rechteck. Begründe, warum gleicher Umfang nicht gleichen Flächeninhalt bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(A = a \cdot b = 3{,}2\ \text{m} \cdot 1{,}5\ \text{m} = 4{,}8\ \text{m}^2\)
Die Beetfläche ist 4,8 m² groß.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (3{,}2\ \text{m} + 1{,}5\ \text{m}) = 2 \cdot 4{,}7\ \text{m} = 9{,}4\ \text{m}\)
\(9{,}4\ \text{m} : 2{,}4\ \text{m} \approx 3{,}92\)
Drei Leisten (7,2 m) reichen nicht. Es müssen 4 Leisten gekauft werden; 0,2 m bleiben übrig.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Seitenlänge: \(9{,}4\ \text{m} : 4 = 2{,}35\ \text{m}\)
\(A = a^2 = (2{,}35\ \text{m})^2 \approx 5{,}52\ \text{m}^2\)
Das quadratische Beet ist bei gleicher Leistenlänge um etwa \(5{,}52 - 4{,}8 = 0{,}72\ \text{m}^2\) größer.
Begründung: Der Umfang addiert die Seiten, der Flächeninhalt multipliziert sie. Bei gleicher Summe \(a + b\) ist das Produkt \(a \cdot b\) umso größer, je näher \(a\) und \(b\) beieinanderliegen — am größten beim Quadrat. Gleicher Umfang legt den Flächeninhalt deshalb nicht fest.
Der Umzugskarton
AFB II–IIIFür den Umzug der Schulbibliothek werden Kartons in Quaderform bestellt: 60 cm lang, 40 cm breit und 40 cm hoch. Die Kartons sind rundum geschlossen; Klebelaschen werden nicht mitgerechnet.
Lena meint: „Würfelkartons mit 50 cm Kantenlänge wären besser. Die fassen mehr und brauchen weniger Pappe.“
| Karton | Länge | Breite | Höhe |
|---|---|---|---|
| Quader | 60 cm | 40 cm | 40 cm |
| Würfel | 50 cm | 50 cm | 50 cm |
- Berechne das Volumen des Quaderkartons.
- Berechne, wie viel Pappe (in cm²) für einen Quaderkarton nötig ist.
- Beurteile Lenas Aussage. Berechne dazu Volumen und Oberfläche des Würfelkartons und vergleiche auch, wie viel Pappe jeweils auf 1 cm³ Inhalt kommt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(V = a \cdot b \cdot c = 60\ \text{cm} \cdot 40\ \text{cm} \cdot 40\ \text{cm} = 96\,000\ \text{cm}^3\)
Ein Quaderkarton fasst 96 000 cm³.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Flächen: \(60 \cdot 40 = 2400\ \text{cm}^2\) (Boden/Deckel), \(60 \cdot 40 = 2400\ \text{cm}^2\) (lange Seiten), \(40 \cdot 40 = 1600\ \text{cm}^2\) (kurze Seiten).
\(O = 2 \cdot (2400 + 2400 + 1600)\ \text{cm}^2 = 2 \cdot 6400\ \text{cm}^2 = 12\,800\ \text{cm}^2\)
Für einen Quaderkarton braucht man 12 800 cm² Pappe.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Würfel: \(V = 50^3\ \text{cm}^3 = 125\,000\ \text{cm}^3\), \(O = 6 \cdot 50^2\ \text{cm}^2 = 15\,000\ \text{cm}^2\).
„Fasst mehr“: richtig — 125 000 cm³ sind mehr als 96 000 cm³.
„Braucht weniger Pappe“: falsch — 15 000 cm² sind 2200 cm² mehr als 12 800 cm².
Pappe je cm³ Inhalt: Quader \(12\,800 : 96\,000 \approx 0{,}13\ \text{cm}^2\), Würfel \(15\,000 : 125\,000 = 0{,}12\ \text{cm}^2\).
Urteil: Lenas Aussage stimmt so nicht. Ein Würfelkarton braucht mehr Pappe. Bezogen auf den Inhalt ist er aber etwas sparsamer. Lena hat also nur recht, wenn man die Pappe je cm³ Inhalt vergleicht.