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Textaufgaben:Netz und Oberfläche

Zwei Sachaufgaben mit gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont: eine dreieckige Schokoladenpackung und der Stoffbedarf eines Zeltes.

1

Die Schokoladenpackung

AFB II

Eine Schokoladenpackung hat die Form eines geraden Prismas mit gleichschenklig-dreieckiger Grundfläche. In M1 ist ihr Netz dargestellt: drei Rechtecke bilden den Mantel, zwei kongruente Dreiecke bilden Grund- und Deckfläche.

Für Klebelaschen und Verschnitt rechnet der Hersteller 12 % auf den Kartonbedarf auf.

M1Netz der Schokoladenpackung
4 cm6 cmMantelfläche 1Mantelfläche 2Mantelfläche 35 cm5 cm20 cmNetz der Packung (nicht maßstabsgetreu)

Die beiden grünen Dreiecke sind Grund- und Deckfläche: Grundseite 6 cm, Schenkel je 5 cm, Dreieckshöhe 4 cm.

  1. Gib an, aus welchen Teilflächen das Netz besteht, und berechne den Flächeninhalt des Mantels.
  2. Berechne den Oberflächeninhalt der Packung.
  3. Berechne den Kartonbedarf für 5000 Packungen in Quadratmetern.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Mantel besteht aus den drei Rechtecken. Alle drei sind 20 cm lang; ihre Breiten sind die drei Seiten des Dreiecks. Du kannst sie einzeln berechnen oder gleich \(M=u\cdot k\) mit dem Umfang \(u\) der Grundfläche verwenden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Das Netz besteht aus zwei kongruenten Dreiecken (Grund- und Deckfläche) und drei Rechtecken (Mantel).

\(M=(6\,\text{cm}+5\,\text{cm}+5\,\text{cm})\cdot 20\,\text{cm}=16\,\text{cm}\cdot 20\,\text{cm}=320\,\text{cm}^2\)

Einzeln gerechnet: \(120\,\text{cm}^2+100\,\text{cm}^2+100\,\text{cm}^2=320\,\text{cm}^2\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Achte darauf, welche der beiden Zahlen 5 cm und 4 cm die Dreieckshöhe ist — nur sie gehört in die Formel \(A=\tfrac{1}{2}\cdot g\cdot h\). Zur Oberfläche gehören zwei Dreiecke.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Grundfläche: \(G=\tfrac{1}{2}\cdot 6\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\)

\(O=2\cdot G+M=2\cdot 12\,\text{cm}^2+320\,\text{cm}^2=344\,\text{cm}^2\)

Die Packung hat einen Oberflächeninhalt von 344 cm².

Hinweis zu Aufgabe c)
Erhöhe zuerst den Bedarf einer Packung um 12 % (Faktor 1,12), multipliziere dann mit 5000 und rechne zuletzt um: \(1\,\text{m}^2=10\,000\,\text{cm}^2\).Ein Antwortsatz mit der richtigen Einheit gehört dazu.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit Zuschlag: \(344\,\text{cm}^2\cdot 1{,}12=385{,}28\,\text{cm}^2\) je Packung

\(5000\cdot 385{,}28\,\text{cm}^2=1\,926\,400\,\text{cm}^2\)

\(1\,926\,400\,\text{cm}^2:10\,000=192{,}64\,\text{m}^2\)

Für 5000 Packungen werden rund 193 m² Karton gebraucht.

2

Das Zelt

AFB III

Ein Zelt hat die Form eines liegenden dreiseitigen Prismas (M2). Vorder- und Rückseite sind kongruente gleichschenklige Dreiecke mit der Grundseite 1,80 m und der Höhe 1,20 m; die beiden Schenkel sind je 1,50 m lang. Das Zelt ist 2,20 m lang.

Dach und Stirnseiten werden aus Zeltstoff für 8,50 € je m² genäht, der Boden aus einer festeren Plane für 12,00 € je m².

M2Skizze des Zeltes
1,20 m1,80 m1,50 m2,20 m(Zeltlänge)Boden

Vorder- und Rückseite des Zeltes sind kongruente Dreiecke, das Dach besteht aus zwei gleich großen Rechtecken, der Boden aus einem weiteren Rechteck.

  1. Berechne den Materialbedarf getrennt für Dach, Stirnseiten und Boden.
  2. Berechne die gesamten Materialkosten.
  3. Überprüfe die Aussage des Herstellers: „Ein doppelt so langes Zelt braucht auch doppelt so viel Material.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Das Dach besteht aus zwei Rechtecken, die so lang wie das Zelt und so breit wie ein Schenkel sind. Für die Stirnseiten brauchst du die Dreiecksformel — dort gehört die Höhe 1,20 m hinein, nicht der Schenkel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Dach: \(2\cdot(1{,}50\,\text{m}\cdot 2{,}20\,\text{m})=2\cdot 3{,}30\,\text{m}^2=6{,}60\,\text{m}^2\)

Stirnseiten: \(2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}80\,\text{m}\cdot 1{,}20\,\text{m}=2\cdot 1{,}08\,\text{m}^2=2{,}16\,\text{m}^2\)

Boden: \(1{,}80\,\text{m}\cdot 2{,}20\,\text{m}=3{,}96\,\text{m}^2\)

Insgesamt: \(6{,}60\,\text{m}^2+2{,}16\,\text{m}^2+3{,}96\,\text{m}^2=12{,}72\,\text{m}^2\)

Hinweis zu Aufgabe b)
Sortiere zuerst, welche Flächen aus Zeltstoff und welche aus Bodenplane bestehen. Rechne beide Beträge getrennt aus und addiere sie erst am Ende.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Zeltstoff (Dach und Stirnseiten): \(6{,}60\,\text{m}^2+2{,}16\,\text{m}^2=8{,}76\,\text{m}^2\)

\(8{,}76\,\text{m}^2\cdot 8{,}50\,\tfrac{\text{€}}{\text{m}^2}=74{,}46\,\text{€}\)

Bodenplane: \(3{,}96\,\text{m}^2\cdot 12{,}00\,\tfrac{\text{€}}{\text{m}^2}=47{,}52\,\text{€}\)

Gesamtkosten: \(74{,}46\,\text{€}+47{,}52\,\text{€}=121{,}98\,\text{€}\)

Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne den Materialbedarf für ein 4,40 m langes Zelt komplett neu aus und vergleiche ihn mit dem doppelten Wert aus a). Achte darauf, welche Flächen von der Länge abhängen und welche nicht.„Überprüfen“ verlangt ein Gegenbeispiel oder eine Rechnung — nicht nur ein Gefühl.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zelt mit der Länge 4,40 m:

Dach: \(2\cdot(1{,}50\,\text{m}\cdot 4{,}40\,\text{m})=13{,}20\,\text{m}^2\)

Stirnseiten: unverändert \(2{,}16\,\text{m}^2\)

Boden: \(1{,}80\,\text{m}\cdot 4{,}40\,\text{m}=7{,}92\,\text{m}^2\)

Summe: \(13{,}20\,\text{m}^2+2{,}16\,\text{m}^2+7{,}92\,\text{m}^2=23{,}28\,\text{m}^2\)

Das Doppelte von 12,72 m² wären 25,44 m². Die Aussage ist also falsch.

Grund: Nur der Mantel — hier Dach und Boden — hängt von der Länge ab und verdoppelt sich. Die beiden Stirnseiten sind Grund- und Deckfläche des Prismas; sie bleiben mit 2,16 m² genau gleich groß. Deshalb fehlen zum doppelten Wert genau diese 2,16 m².