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TextaufgabenFlächeninhalt Trapez

Zwei Sachaufgaben mit gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont: der Ausbau eines Deichs und eine trapezförmige Solarfläche.

1

Der Deich wird ausgebaut

AFB II

Ein Deich an der Elbe soll verstärkt werden. Sein Querschnitt ist ein gleichschenkliges Trapez (M1): unten die 24 m breite Sohle, oben die 6 m breite Krone, dazwischen 5 m Höhe.

Damit der Deich das nächste Jahrhunderthochwasser hält, soll der Querschnitt nach dem Ausbau 100 m² groß sein.

M1Querschnitt des Deichs (heutiger Zustand)
Deichkroneh = 5 ma = 24 m (Sohlbreite)c = 6 mQuerschnitt des DeichsWasserseite

Der Querschnitt ist ein gleichschenkliges Trapez. Die beiden parallelen Seiten sind die Sohle (unten) und die Krone (oben).

  1. Berechne den Flächeninhalt des heutigen Querschnitts.
  2. Beim Ausbau bleiben Höhe und Kronenbreite unverändert, nur die Sohle wird breiter. Berechne die neue Sohlbreite \(a\).
  3. Statt zu verbreitern könnte der Deich auch aufgeschüttet werden — die Breiten blieben dann unverändert. Berechne die dafür nötige Höhe und beurteile, welcher Ausbau weniger Platz am Boden braucht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze in \(A=\tfrac{1}{2}\cdot(a+c)\cdot h\) ein. Die beiden parallelen Seiten sind Sohle und Krone, die Höhe ist ihr senkrechter Abstand.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(A=\tfrac{1}{2}\cdot(a+c)\cdot h=\tfrac{1}{2}\cdot(24\,\text{m}+6\,\text{m})\cdot 5\,\text{m}=\tfrac{1}{2}\cdot 30\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}=75\,\text{m}^2\)

Der heutige Querschnitt hat einen Flächeninhalt von 75 m².

Hinweis zu Aufgabe b)
Setze diesmal den gesuchten Flächeninhalt links ein und lasse \(a\) als Unbekannte stehen. Löse die Gleichung Schritt für Schritt: erst die 2 wegmultiplizieren, dann durch die Höhe teilen, zuletzt \(c\) subtrahieren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(100\,\text{m}^2=\tfrac{1}{2}\cdot(a+6\,\text{m})\cdot 5\,\text{m}\)

\(200\,\text{m}^2=(a+6\,\text{m})\cdot 5\,\text{m}\)

\(40\,\text{m}=a+6\,\text{m}\;\Rightarrow\; a=34\,\text{m}\)

Die Sohle müsste auf 34 m verbreitert werden, also um 10 m.

Hinweis zu Aufgabe c)
Gehe wie in b) vor, jetzt aber mit \(h\) als Unbekannter. Vergleiche zum Schluss, wie breit der Deich am Boden in beiden Varianten wäre — Deichsohle bedeutet Grundstücksfläche.„Beurteilen“ verlangt eine Entscheidung mit Begründung, nicht nur zwei Zahlen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(100\,\text{m}^2=\tfrac{1}{2}\cdot(24\,\text{m}+6\,\text{m})\cdot h=15\,\text{m}\cdot h\)

\(h=\dfrac{100\,\text{m}^2}{15\,\text{m}}\approx 6{,}67\,\text{m}\)

Der Deich müsste von 5 m auf etwa 6,67 m erhöht werden, also um rund 1,67 m.

Urteil: Beim Erhöhen bleibt die Sohle 24 m breit, beim Verbreitern wächst sie auf 34 m. Wo der Platz knapp ist — etwa zwischen Deich und Wohnbebauung — ist das Erhöhen die bessere Lösung, weil dafür 10 m weniger Grundstücksbreite gebraucht werden. Muss dagegen wenig Material bewegt werden oder ist der Untergrund für höhere Lasten zu weich, spricht das für die Verbreiterung.

2

Die Solarfläche auf dem Schuldach

AFB III

Auf einem Anbau der Schule soll eine trapezförmige Fläche mit Solarmodulen belegt werden. Im Dachplan (M2) sind der Flächeninhalt 41,60 m², die kürzere parallele Seite \(c=8{,}40\,\text{m}\) und die Höhe \(h=3{,}20\,\text{m}\) eingetragen — die längere parallele Seite \(a\) fehlt.

Ein Solarmodul ist 1,60 m lang und 1,00 m breit.

M2Ausschnitt aus dem Dachplan
h = 3,20 ma = ?c = 8,40 mFläche laut Plan:A = 41,60 m²Solarfläche

Bekannt sind der Flächeninhalt, die kürzere parallele Seite \(c\) und die Höhe \(h\). Gesucht ist die längere parallele Seite \(a\).

  1. Berechne die fehlende Länge \(a\).
  2. Bestimme, wie viele Module rechnerisch auf die Fläche passen, und erkläre, warum es in Wirklichkeit weniger sind.
  3. Ein zweiter Entwurf sieht ein Parallelogramm mit \(g=13{,}00\,\text{m}\) und derselben Höhe vor. Vergleiche beide Entwürfe und begründe dein Ergebnis mit den beiden parallelen Seiten des Trapezes.
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze alles Bekannte in \(A=\tfrac{1}{2}\cdot(a+c)\cdot h\) ein und löse die Gleichung nach \(a\) auf. Multipliziere zuerst beide Seiten mit 2.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(41{,}60\,\text{m}^2=\tfrac{1}{2}\cdot(a+8{,}40\,\text{m})\cdot 3{,}20\,\text{m}\)

\(83{,}20\,\text{m}^2=(a+8{,}40\,\text{m})\cdot 3{,}20\,\text{m}\)

\(26{,}00\,\text{m}=a+8{,}40\,\text{m}\;\Rightarrow\; a=17{,}60\,\text{m}\)

Die längere parallele Seite ist 17,60 m lang.

Hinweis zu Aufgabe b)
Berechne zuerst den Flächeninhalt eines Moduls. Denke bei der Erklärung an die schrägen Ränder der Fläche und daran, dass Module rechteckig sind.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ein Modul: \(1{,}60\,\text{m}\cdot 1{,}00\,\text{m}=1{,}60\,\text{m}^2\)

\(41{,}60\,\text{m}^2:1{,}60\,\text{m}^2=26\)

Rechnerisch passen 26 Module auf die Fläche.

In Wirklichkeit sind es weniger: Die Module sind Rechtecke, die Fläche hat aber eine schräge Kante — dort bleiben Reststücke übrig, die kein ganzes Modul mehr aufnehmen. Dazu kommen Abstände für die Befestigung und ein Randstreifen zur Dachkante.

Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne den Flächeninhalt des Parallelogramms aus und vergleiche ihn mit 41,60 m². Bilde danach den Mittelwert der beiden parallelen Seiten des Trapezes — was fällt dir auf?„Begründen“ heißt: den mathematischen Grund angeben, nicht nur feststellen, dass die Zahlen gleich sind.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Parallelogramm: \(A=g\cdot h=13{,}00\,\text{m}\cdot 3{,}20\,\text{m}=41{,}60\,\text{m}^2\)

Beide Entwürfe sind gleich groß.

Begründung: \(\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{17{,}60\,\text{m}+8{,}40\,\text{m}}{2}=13{,}00\,\text{m}\)

Die Formel \(A=\tfrac{1}{2}\cdot(a+c)\cdot h\) lässt sich auch als \(A=\dfrac{a+c}{2}\cdot h\) schreiben. Der Mittelwert der beiden parallelen Seiten ist genau die Grundseite des Parallelogramms. Ein Trapez hat also denselben Flächeninhalt wie ein Parallelogramm gleicher Höhe, dessen Grundseite der Mittelwert der beiden parallelen Seiten ist.