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TextaufgabenFlächeninhalt Dreieck

Zwei Sachaufgaben mit gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont: der Anstrich eines Hüttengiebels und ein dreieckiges Grundstück.

1

Der Giebel der Gartenhütte

AFB I

Familie Krüger streicht ihre Gartenhütte neu. Über der geraden Wand sitzt an der Vorder- und an der Rückseite je ein dreieckiger Giebel (M1). Nur diese beiden Giebel sollen gestrichen werden, die geraden Wandflächen bleiben unverändert.

Auf der Dose steht: 1 Liter reicht für 6 m². Der Hersteller empfiehlt zwei Anstriche. Verkauft wird die Farbe nur in Dosen zu 0,75 Litern.

M1Stirnseite der Gartenhütte (Maße vom Bauplan)
h = 1,40 mg = 3,60 m2,28 m(Dachkante)

Der Giebel ist ein Dreieck; die gestrichelte Strecke ist die Höhe zur Grundseite. Alle Maße in Metern.

  1. Berechne den Flächeninhalt eines Giebels.
  2. Bestimme, wie viele Dosen Farbe die Familie kaufen muss.
  3. Erkläre, warum die Länge der schrägen Dachkanten (2,28 m) für die Rechnung nicht gebraucht wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Lies zuerst aus M1 heraus, welche Strecke die Grundseite \(g\) und welche die zugehörige Höhe \(h\) ist. Die Höhe erkennst du am rechten Winkel: Sie steht senkrecht auf der Grundseite.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(A=\tfrac{1}{2}\cdot g\cdot h=\tfrac{1}{2}\cdot 3{,}60\,\text{m}\cdot 1{,}40\,\text{m}=\tfrac{1}{2}\cdot 5{,}04\,\text{m}^2=2{,}52\,\text{m}^2\)

Ein Giebel hat einen Flächeninhalt von 2,52 m².

Hinweis zu Aufgabe b)
Gehe in drei Schritten vor: erst beide Giebel, dann die zwei Anstriche, dann die Umrechnung in Liter und schließlich in Dosen. Eine angefangene Dose musst du ganz kaufen.„Bestimmen“ verlangt einen sichtbaren Rechenweg und einen Antwortsatz.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Beide Giebel: \(2\cdot 2{,}52\,\text{m}^2=5{,}04\,\text{m}^2\)

Zwei Anstriche: \(2\cdot 5{,}04\,\text{m}^2=10{,}08\,\text{m}^2\)

Farbbedarf: \(10{,}08\,\text{m}^2:6\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{l}}=1{,}68\,\text{l}\)

Dosen: \(1{,}68\,\text{l}:0{,}75\,\text{l}=2{,}24\)

Die Familie muss 3 Dosen kaufen; 2 Dosen (1,5 l) würden nicht reichen. Es bleiben rund 0,57 l übrig.

Hinweis zu Aufgabe c)
Schau dir an, welche Größen in der Formel \(A=\tfrac{1}{2}\cdot g\cdot h\) überhaupt vorkommen. Verschiebe die Spitze des Dreiecks in Gedanken waagerecht — was passiert dabei mit den schrägen Kanten, was mit der Höhe?
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

In die Formel \(A=\tfrac{1}{2}\cdot g\cdot h\) gehen nur die Grundseite und die zugehörige Höhe ein — also der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundseite. Die schrägen Dachkanten kommen darin nicht vor.

Das sieht man auch so: Verschiebt man die Spitze waagerecht, werden die schrägen Kanten länger oder kürzer, die Höhe bleibt aber gleich — und damit auch der Flächeninhalt. Die schrägen Kanten legen den Flächeninhalt also gar nicht fest.

2

Das dreieckige Grundstück

AFB III

Ein Vermessungsbüro nimmt ein dreieckiges Grundstück \(ABC\) auf und schickt dem Eigentümer nur drei Zahlen (M2): die Seite \(\overline{AB}\) ist 48 m lang, die Ecke \(C\) liegt 25 m von dieser Seite entfernt, und die Seite \(\overline{BC}\) misst 40 m.

Der Eigentümer möchte den Zaun an der Seite \(\overline{BC}\) neu setzen und braucht dafür die Höhe, die zu dieser Seite gehört.

M2Angaben des Vermessungsbüros
ABCAB = 48 mBC = 40 m25 m1 Kästchen der Skizze entspricht keinem festen Maß – die Zahlen gelten.

Die gestrichelte Strecke ist der senkrechte Abstand der Ecke C von der Seite \(\overline{AB}\).

  1. Berechne den Flächeninhalt des Grundstücks.
  2. Berechne die Höhe, die zur Seite \(\overline{BC}\) gehört.
  3. Mia behauptet: „Wenn eine Seite doppelt so lang ist wie eine andere, dann ist die Höhe zu dieser Seite halb so lang.“ Überprüfe ihre Aussage.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Seite \(\overline{AB}\) und der Abstand von \(C\) zu dieser Seite gehören zusammen — das ist genau das Paar aus Grundseite und Höhe.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(A=\tfrac{1}{2}\cdot 48\,\text{m}\cdot 25\,\text{m}=\tfrac{1}{2}\cdot 1200\,\text{m}^2=600\,\text{m}^2\)

Das Grundstück ist 600 m² groß.

Hinweis zu Aufgabe b)
Der Flächeninhalt aus a) ändert sich nicht, wenn du eine andere Seite als Grundseite wählst. Setze in \(A=\tfrac{1}{2}\cdot g\cdot h\) den bekannten Flächeninhalt und \(g=40\,\text{m}\) ein und löse nach \(h\) auf.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(600\,\text{m}^2=\tfrac{1}{2}\cdot 40\,\text{m}\cdot h\)

\(1200\,\text{m}^2=40\,\text{m}\cdot h \;\Rightarrow\; h=\dfrac{1200\,\text{m}^2}{40\,\text{m}}=30\,\text{m}\)

Zur Seite \(\overline{BC}\) gehört eine Höhe von 30 m.

Hinweis zu Aufgabe c)
Forme \(A=\tfrac{1}{2}\cdot g\cdot h\) so um, dass das Produkt \(g\cdot h\) allein steht. Überlege dann, was mit dem Produkt passiert, wenn ein Faktor verdoppelt wird — und prüfe es an deinen Zahlen aus a) und b).„Überprüfen“ heißt: die Behauptung an deinen eigenen Rechnungen messen und das Ergebnis klar formulieren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Aus \(A=\tfrac{1}{2}\cdot g\cdot h\) folgt \(g\cdot h=2A\). In diesem Dreieck ist also \(g\cdot h=1200\,\text{m}^2\) — und zwar für jede Seite:

\(48\cdot 25=1200\) und \(40\cdot 30=1200\).

Wird ein Faktor verdoppelt, muss der andere halbiert werden, damit das Produkt gleich bleibt. Mias Aussage ist damit richtig — allerdings nur innerhalb eines Dreiecks.

Vergleicht man zwei verschiedene Dreiecke, stimmt sie nicht: Ein Dreieck mit \(g=96\,\text{m}\) und \(h=25\,\text{m}\) hätte den doppelten Flächeninhalt, obwohl die Grundseite doppelt so lang und die Höhe unverändert ist.