Die Kalkulation der Theater-AG
AFB IIDie Theater-AG führt ihr Stück zweimal auf. Eine Karte kostet 12 €; verkauft werden \(x\) Karten. Auf der Ausgabenseite stehen 240 € für Bühnenbild und Lizenz sowie 3,50 € je Karte für Programmheft und Getränk (Material M1). Auf dem Planungszettel steht der Gewinn als \(12x - (240 + 3{,}5x)\).
| Posten | Betrag |
|---|---|
| Kartenpreis | 12,00 € je Karte |
| Bühnenbild und Lizenz | 240,00 € insgesamt |
| Programmheft und Getränk | 3,50 € je Karte |
Programmheft und Getränk werden nur für tatsächlich verkaufte Karten bezahlt.
- Löse die Klammer im Gewinnterm auf und fasse so weit wie möglich zusammen.
- Es werden 60 Karten verkauft. Berechne den Gewinn und deute dein Ergebnis.
- Ben schreibt \(12x - 240 + 3{,}5x\) und erhält für 60 Karten 690 €. Erkläre seinen Fehler und gib an, um welchen Betrag er sich verrechnet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(G = 12x - (240 + 3{,}5x) = 12x - 240 - 3{,}5x\)
\(G = 12x - 3{,}5x - 240 = 8{,}5x - 240\)
Von jeder Karte bleiben also 8,50 € übrig, davon sind die festen 240 € zu decken.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(G = 8{,}5\cdot 60 - 240 = 510 - 240 = 270\)
Bei 60 verkauften Karten macht die AG 270 € Gewinn. Wären es weniger als \(240 : 8{,}5 \approx 28{,}2\), also höchstens 28 Karten, stünde dort ein negativer Wert — dann wäre es ein Verlust.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ben löst die Klammer nur beim ersten Summanden auf. Das Minuszeichen vor der Klammer muss aber beide Summanden erfassen, also auch \(3{,}5x\). Richtig ist \(-3{,}5x\), Ben rechnet mit \(+3{,}5x\).
Sein Term liefert \(12\cdot 60 - 240 + 3{,}5\cdot 60 = 720 - 240 + 210 = 690\).
Die Abweichung beträgt \(690 - 270 = 420\) €, also genau \(2\cdot 3{,}5\cdot 60\). Ben zählt die Kosten für Programmheft und Getränk als Einnahme — er würde der AG einen Gewinn versprechen, den es nicht gibt.
Der Getränkevorrat beim Schulfest
AFB IIIFür das Schulfest stehen 480 Flaschen Wasser bereit. Erfahrungsgemäß hängt der Verbrauch von der Zahl \(k\) der teilnehmenden Klassen ab: Am Vormittag werden etwa \((5k + 30)\) Flaschen benötigt, am Nachmittag etwa \((7k - 12)\) Flaschen (Material M2). Ein Kollege meint: „Das Minuszeichen vor der zweiten Klammer betrifft nur den ersten Summanden — den Rest schreibt man einfach ab.“
| Zeitraum | Verbrauch in Flaschen |
|---|---|
| Vormittag | 5k + 30 |
| Nachmittag | 7k − 12 |
| Vorrat | 480 |
\(k\) ist die Anzahl der teilnehmenden Klassen; die Formeln sind Näherungen aus den Vorjahren.
- Stelle einen Term für die Zahl der übrigen Flaschen auf und fasse ihn zusammen.
- Am Fest nehmen 25 Klassen teil. Berechne, wie viele Flaschen übrig bleiben.
- Ermittle, ab welcher Klassenzahl der Vorrat nicht mehr reicht, und beurteile die Aussage des Kollegen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(R = 480 - (5k + 30) - (7k - 12)\)
\(R = 480 - 5k - 30 - 7k + 12\)
\(R = 480 - 30 + 12 - 5k - 7k = 462 - 12k\)
Beachte: Aus \(-(7k - 12)\) wird \(-7k + 12\) — die \(-12\) wird zu \(+12\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(R = 462 - 12\cdot 25 = 462 - 300 = 162\)
Es bleiben 162 Flaschen übrig.
Kontrolle über die Klammern: Vormittag \(5\cdot 25+30 = 155\), Nachmittag \(7\cdot 25-12 = 163\), zusammen 318 Flaschen. Und \(480-318 = 162\) — das passt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Vorrat ist aufgebraucht, wenn \(462 - 12k = 0\) gilt, also \(12k = 462\) und \(k = 38{,}5\). Bis 38 Klassen reicht der Vorrat (dann bleiben \(462-456 = 6\) Flaschen), ab 39 Klassen reicht er nicht mehr.
Die Aussage des Kollegen ist falsch. Ein Minuszeichen vor der Klammer wirkt auf jeden Summanden darin, denn es bedeutet die Multiplikation der ganzen Klammer mit \(-1\). Nach seiner Regel ergäbe sich \(480 - 5k - 30 - 7k - 12 = 438 - 12k\).
Er würde den Vorrat also um 24 Flaschen zu klein rechnen und käme mit \(438 : 12 = 36{,}5\) auf eine falsche Grenze — bei 37 oder 38 Klassen würde er unnötig nachbestellen.