Variablen: beide Seiten: Übungen – Mathe Klasse 8

A1

Regel-Check

AFB I

Welche Aussagen über das Lösen von Gleichungen mit x auf beiden Seiten stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Der Klassiker unter den Fehlern ist das „Rüberschieben“: Wer aus 5x + 3 = 2x + 12 einfach 5x = 2x + 12 + 3 macht, hat links etwas weggenommen, ohne es rechts auszugleichen. Richtig ist die Rechenanweisung | −3 auf beiden Seiten — dann wird aus +3 links tatsächlich −3 rechts.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen rund um Umformen, Sammeln und Probe.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Zwei Fehler stecken in dieser Serie: einseitiges Umformen und der Verzicht auf die Probe. Beide führen zu Lösungen, die beim Einsetzen sofort auffliegen — deshalb lohnt sich die Probe immer.

A3

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Steht x auf beiden Seiten, sammelst du zuerst alle auf einer Seite und alle reinen auf der anderen. Jede Umformung führst du auf Seiten aus, sonst bringst du die Gleichung aus dem . Ganz am Ende machst du die .

Der „Nenner“ bleibt übrig — hier wird nichts durch Brüche geteilt. Der eigentliche Stolperstein steckt im Wort „beiden“: Wer nur auf einer Seite umformt, ändert den Wert der Gleichung und bekommt eine falsche Lösung.

A4

Erst sortieren, dann rechnen

AFB I

Steht x auf beiden Seiten, nur auf einer Seite — oder ist es gar keine Gleichung? Sortiere die Karten.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1x auf beiden Seiten

2x nur auf einer Seite

3Term, keine Gleichung

Der typische Fehler: Ein Term wie 2x + 7 − x wird „gelöst“, obwohl gar kein Gleichheitszeichen da ist. Einen Term kann man nur zusammenfassen (hier: x + 7) — eine Lösung x gibt es erst, wenn zwei Seiten gleichgesetzt sind.

A5

Rechenweg in Ordnung bringen

AFB I

In welcher Reihenfolge löst du eine Gleichung mit x auf beiden Seiten?

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1 Klammern ausmultiplizieren und auf jeder Seite zusammenfassen.

2 Das kleinere x-Glied auf beiden Seiten subtrahieren — alle x stehen dann auf einer Seite.

3 Die störende Zahl auf der x-Seite mit der Gegenrechnung entfernen.

4 Durch die Zahl vor dem x teilen — jetzt steht x allein.

5 Die Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen und die Probe rechnen.

Schritt 1 wird am häufigsten übersprungen: Wer die x-Glieder sammelt, solange noch eine Klammer dasteht, übersieht das x in der Klammer. Und die Probe gehört in die Ausgangsgleichung — in eine schon umgeformte Zeile eingesetzt würde ein Fehler unentdeckt bleiben.

A6

Rechenkette vorwärts

AFB II

Löse Schritt für Schritt: 7x + 4 = 3x + 24

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Subtrahiere auf beiden Seiten 3x. Wie viele x bleiben links stehen? x
Jetzt steht 4x + 4 = 24 da. Subtrahiere auf beiden Seiten 4 — welche Zahl steht dann rechts?
Teile beide Seiten durch 4. Wie groß ist x?
Probe: Welchen Wert hat die linke Seite 7x + 4, wenn du x einsetzt?

Beide Seiten liefern 39 — die Lösung x = 5 stimmt. Typischer Fehler an Schritt 1: nur links 3x streichen. Dann stünde 4x + 4 = 3x + 24 immer noch mit x rechts, und der Rest der Rechnung wäre wertlos.

A7

Blitzrechnung

AFB I

Löse im Kopf oder auf Papier: 9x − 2 = 5x + 14

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

| −5x ergibt 4x − 2 = 14, | +2 ergibt 4x = 16, | ÷4 ergibt x = 4. Probe: 9·4 − 2 = 34 und 5·4 + 14 = 34 ✓. Wer statt −5x versehentlich −9x rechnet, landet bei −4x = 16 und muss durch eine negative Zahl teilen — geht auch, ist aber fehleranfälliger.

A8

Schätz-Regler: Zwei Kerzen

AFB II

Kerze A ist 30 cm lang und brennt 2 cm pro Stunde ab. Kerze B ist 18 cm lang und brennt 1 cm pro Stunde ab. Nach wie vielen Stunden sind beide gleich lang? Erst schätzen, dann nachrechnen!

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.

0 Stunden24 Stunden

Die Gleichung lautet 30 − 2t = 18 − t. | +2t ergibt 30 = 18 + t, | −18 ergibt t = 12; beide Kerzen sind dann noch 6 cm lang. Viele schätzen zu niedrig, weil sie nur den Längenunterschied von 12 cm sehen und die 2 cm pro Stunde einsetzen — der Abstand schrumpft aber nur um 1 cm pro Stunde, weil auch B abbrennt.

A9

Begriffs-Memory

AFB I

Finde die sechs Paare aus Begriff und Bedeutung.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.

Die letzten beiden Paare werden oft vertauscht. Merke: bleibt am Ende etwas Wahres wie 5 = 5 stehen, passt jede Zahl; bleibt etwas Falsches wie 1 = 4 stehen, passt keine.

A10

Kreuztabelle: Welche Lösung passt?

AFB II

Fünf Gleichungen, drei mögliche Lösungen. Kreuze für jede Zeile die richtige Spalte an.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.

Gleichung	x = 2	x = 3	x = 5
5x + 1 = 3x + 5
6x − 4 = 4x + 2
7x + 2 = 2x + 27
4x + 9 = x + 15
9x − 7 = 5x + 5

Schneller als Rechnen ist hier Einsetzen: Drei Zahlen ausprobieren dauert weniger lang als umformen. Achtung bei Zeile 2 und 5 — dort steht links ein Minus. Wer 6x − 4 als 6x + 4 liest, kreuzt x = 2 an statt x = 3.

A11

Einseitig, beidseitig — oder beides?

AFB II

Ordne jede Aussage dem richtigen Bereich zu.

Ordne jeden Begriff einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 nur x auf einer Seite

2 beide

3 nur x auf beiden Seiten

Die Mitte ist der wichtigste Bereich: Umformen auf beiden Seiten, Teilen durch den Faktor vor dem x und die Probe gelten für jede Gleichung. Neu ist bei beidseitigen Gleichungen nur der eine zusätzliche erste Schritt — deshalb ist das keine neue Methode, sondern eine Erweiterung.

A12

Gleichung trifft Lösung

AFB II

Verbinde jede Gleichung mit ihrer Lösung — Kopfrechnen genügt.

Klicke links eine Gleichung an und dann rechts ihre Lösung — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Trick: Bilde im Kopf die Differenz der x-Glieder und die Differenz der Zahlen. Bei 6x + 2 = 2x + 26 sind das 4x und 24 — also x = 6. Wer stattdessen die Zahlen addiert, landet regelmäßig bei viel zu großen Lösungen.

A13

Fehlersuche im Schulheft

AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 4 ist der häufigste Fehler in Klassenarbeiten: einseitiges Streichen. Zeile 6 ist der zweithäufigste: das Minus vor dem x wird beim Teilen unterschlagen. Beide fliegen bei der Probe sofort auf.

A14

Nils' Rechenweg

AFB II

Begleite Nils durch die Gleichung 6x + 5 = 2x + 29 — bei jedem Schritt entscheidest du, wie es weitergeht.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Der ganze Weg: x sammeln → Zahl wegschaffen → durch den Faktor teilen → Probe. Wer die Reihenfolge tauscht und zu früh teilt, muss plötzlich auch die Zahlen und das zweite x-Glied durch 6 teilen — das geht, wird aber unnötig kompliziert.

A15

Entscheidungsbaum: Welcher Schritt ist dran?

AFB II

Situation: Vor dir steht die Gleichung 3·(x + 4) = 5x − 2. Finde mit dem Baum heraus, welcher Schritt jetzt zuerst kommt.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Ausgerechnet: 3·(x + 4) = 3x + 12, also 3x + 12 = 5x − 2 → | −3x → 12 = 2x − 2 → | +2 → 2x = 14 → x = 7. Probe: 3·11 = 33 und 5·7 − 2 = 33 ✓. Wer die Klammer stehen lässt und gleich x sammelt, übersieht das x in der Klammer und rechnet mit 3 statt mit 3x.

A16

Fünf Gleichungen, fünf Lösungen

AFB III

Jede dieser Gleichungen hat eine Lösung zwischen 1 und 5. Ordne jeder Zeile die richtige Zahl zu — im Kopf, ohne aufzuschreiben.

Wähle für jede Zeile die Stufe, die der Lösung entspricht: 1 = x ist 1, 2 = x ist 2, 3 = x ist 3, 4 = x ist 4, 5 = x ist 5. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = x ist 15 = x ist 5

5x − 4 = 2x + 5

8x + 3 = 3x + 8

2·(x + 3) = 3x + 1

7x − 5 = 9x − 9

x + 12 = 4x

Zwei Zeilen sind Fallen: Bei 7x − 5 = 9x − 9 steht das größere x-Glied rechts — sammelt man nach links, entsteht −2x = −4, und beide Minuszeichen müssen mit. Bei x + 12 = 4x fehlt links scheinbar die Zahl vor dem x; gemeint ist 1x. Wer dort 0 einsetzt, bekommt eine falsche Lösung.

A17

Musterlösung zusammenbauen

AFB II

Baue die vollständige Musterlösung für 6x + 7 = 4x + 19 — zwei Bausteine sind Fallen.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.

Beide Fallen sind Vorzeichenfehler. Bei „| +4x“ wird addiert statt subtrahiert — die x-Glieder verschwinden dann nicht, sie werden mehr. Bei „| +7“ wandert die 7 mit falschem Vorzeichen; richtig ist 19 − 7 = 12. So sieht eine Musterlösung mit voller Punktzahl aus: Ausgangsgleichung, jede Umformung mit Rechenanweisung am Rand, Lösung, Probe.

A18

Rechenkette: Zwei Fahrradverleihe

AFB III

Beim Verleih „Radl A“ zahlst du 8 € Grundgebühr plus 3 € pro Stunde, bei „Radl B“ 20 € Grundgebühr plus 1 € pro Stunde. Ab wann kostet beides gleich viel? Stelle die Gleichung selbst auf.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Die Gleichung lautet 8 + 3t = 20 + t. Subtrahiere auf beiden Seiten t — wie viele t bleiben links? t
Jetzt steht 8 + 2t = 20 da. Subtrahiere auf beiden Seiten 8 — welche Zahl steht rechts?
Teile durch 2: Nach wie vielen Stunden kostet beides gleich viel? Stunden
Probe: Wie viel Euro zahlst du dann bei „Radl A“? €

Auch bei „Radl B“ sind es 20 + 6 = 26 € — die Probe stimmt. Der typische Fehler beim Aufstellen: Grundgebühr und Stundenpreis werden vertauscht, also 3 + 8t geschrieben. Prüfe deshalb immer, welche Zahl einmalig anfällt und welche pro Stunde.

A19

Mit Klammer — im Kopf

AFB II

Löse: 4·(x − 3) = 2x + 6

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Erst die Klammer: 4·(x − 3) = 4x − 12. Dann 4x − 12 = 2x + 6 → | −2x → 2x − 12 = 6 → | +12 → 2x = 18 → x = 9. Probe: 4·6 = 24 und 2·9 + 6 = 24 ✓. Wer nur die 4 mit dem x multipliziert und die −3 vergisst, erhält 4x = 2x + 6 und damit x = 3 — eine Lösung, die die Probe nicht besteht.

A20

Die x-gleich-5-Familie

AFB III

Welche dieser Gleichungen haben die Lösung x = 5? Es sind mehrere!

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Schneller als jede Umformung ist hier die Probe: x = 5 einsetzen und beide Seiten getrennt ausrechnen. Bei 5x + 4 = 3x + 10 kommt links 29 und rechts 25 heraus — also nicht 5, sondern x = 3. Genau dieses Einsetzen kannst du in der Klassenarbeit nutzen, um deine eigene Lösung zu kontrollieren.

A21

Drei Basisgleichungen

AFB I

Löse jede Gleichung und gib x ein.

a) 4x = 2x + 6 → x =

b) 5x − 3 = 3x + 7 → x =

c) 7x + 1 = 4x + 13 → x =

Strategie: Subtrahiere das kleinere x-Glied auf beiden Seiten. Bei a) hat die rechte Seite 2x — also „−2x“ auf beiden Seiten.So sammelst du alle x links und Zahlen rechts.

Beispiel a): 4x − 2x = 2x; 2x = 6; ÷2 → x = 3.

Lösungen: a) x = 3 · b) x = 5 · c) x = 4

A22

Negatives x auf einer Seite

AFB I

Löse: 2x − 5 = −x + 4

Achtung — rechts steht −x. Wie holst du es nach links?

x =

Idee: Wenn rechts −x steht, addiere +x auf beiden Seiten — dann verschwindet das −x rechts.Plus und Minus heben sich auf.

Schritte: 2x − 5 = −x + 4 | +x → 3x − 5 = 4 | +5 → 3x = 9 | ÷3 → x = 3.

Lösung: x = 3. Probe: 2·3 − 5 = 1; −3 + 4 = 1. ✓

A23

Mit Klammern

AFB II

Löse jede Gleichung — erst Klammer auflösen!

a) 3·(x + 1) = 2x + 7 → x =

b) 2·(x − 4) = x − 2 → x =

Schritt 1: Klammer auflösen mit Distributivgesetz. Bei a): 3·(x+1) = 3x + 3.Jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor multiplizieren.

Weiter a): 3x + 3 = 2x + 7 | −2x → x + 3 = 7 | −3 → x = 4.

Lösungen: a) x = 4 · b) x = 6

A24

Klammern beidseits

AFB II

Löse: 4·(x − 2) = 3·(x + 1)

Beide Seiten haben Klammern — beide auflösen!

x =

Beide Klammern auflösen: 4·(x−2) = 4x − 8. 3·(x+1) = 3x + 3.Vorsicht Vorzeichen: 4 · (−2) = −8.

Weiter: 4x − 8 = 3x + 3 | −3x → x − 8 = 3 | +8 → x = 11.

Lösung: x = 11. Probe: 4·(11−2) = 36; 3·(11+1) = 36. ✓

A25

Mix: reine Klammergleichungen + beidseitige

Mix

Achtung — gemischt: bei a) und c) steht x nur einseitig (UK5), bei b) und d) beidseitig (UK6). Erst prüfen, dann rechnen!

a) 3·(x + 2) = 15 → x =

b) 6x − 4 = 2x + 8 → x =

c) 2·(x − 1) = 8 → x =

d) 5·(x + 1) = 4x + 9 → x =

Warum hilft dieses „Mischen“ beim Lernen?

Im echten Test steht nie dabei „jetzt kommt Methode XY“. Wenn du immer dieselbe Sorte hintereinander übst, lernst du nur zu rechnen — nicht zu entscheiden. Diese Mix-Aufgabe trainiert genau das: erkennen, welche Strategie passt. (Studie: Rohrer 2007 — gemischtes Üben verbessert Transferleistung um 43 %.)

A26

Textaufgabe: Anna und Ben

AFB III

„Annas Alter heute, plus 4 Jahre, ergibt das Alter, das Ben in 2 Jahren haben wird.“ Anna ist heute x Jahre alt, Ben ist heute (2x − 6) Jahre alt.

a) Übersetze in eine Gleichung mit x auf beiden Seiten.

b) Löse die Gleichung — wie alt ist Anna?

Anna ist Jahre alt

Übersetzung: „Annas Alter heute + 4“ = x + 4. „Bens Alter in 2 Jahren“ = (2x − 6) + 2 = 2x − 4.In 2 Jahren = heute + 2.

Gleichung: x + 4 = 2x − 4. Jetzt lösen: | −x → 4 = x − 4 | +4 → x = 8.

Lösung: Anna ist 8 Jahre alt. Ben heute: 2·8 − 6 = 10. Probe: 8 + 4 = 12; 10 + 2 = 12. ✓

A27

Was, wenn 0 = 0 oder 0 = 3 rauskommt?

AFB III

Stell dir vor, du löst diese beiden Gleichungen — was passiert?

A) 2x + 5 = 2x + 5

B) 3x + 1 = 3x + 4

Versuche bei beiden, x alleine zu bekommen. Was beobachtest du?

Antwort und Bedeutung

A) 2x + 5 = 2x + 5 | −2x → 5 = 5. Das ist immer wahr — egal welches x du einsetzt. Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen (jede Zahl passt).

B) 3x + 1 = 3x + 4 | −3x → 1 = 4. Das ist nie wahr — egal welches x. Die Gleichung hat keine Lösung.

Diese beiden Spezialfälle sind das Thema des nächsten Kapitels (UK7). Merke schon mal: wenn x „verschwindet“ und eine wahre Aussage übrig bleibt → alle Zahlen. Wenn x verschwindet und eine falsche Aussage übrig bleibt → keine Lösung.

A28

Sachaufgabe: Zwei Sparschweine

AFB II

Lena hat 24 € gespart und legt jede Woche 5 € dazu. Timo hat schon 60 €, spart aber nur 2 € pro Woche. Nenne die Anzahl der Wochen w.

a) Nach wie vielen Wochen haben beide gleich viel Geld?

b) Wie viel Euro sind das dann jeweils?

a) w = Wochen

b) Betrag = €

Gleichung aufstellen: Lenas Geld nach w Wochen ist 24 + 5w, Timos Geld ist 60 + 2w. „Gleich viel“ heißt: 24 + 5w = 60 + 2w.Der Startbetrag steht ohne w, der wöchentliche Betrag wird mit w multipliziert.

Lösen: 24 + 5w = 60 + 2w | −2w → 24 + 3w = 60 | −24 → 3w = 36 | ÷3 → w = 12.

Lösung: a) 12 Wochen · b) beide haben dann 84 €. Probe: Lena 24 + 5·12 = 84, Timo 60 + 2·12 = 84. ✓

Warum überholt Lena Timo überhaupt, obwohl sie mit weniger startet?

Weil nicht der Startwert entscheidet, sondern die Sparrate. Lena legt jede Woche 3 € mehr dazu als Timo, der Rückstand von 36 € schrumpft also jede Woche um genau 3 €. Nach 36 : 3 = 12 Wochen ist er aufgeholt — danach hat Lena mehr. Genau das steckt in der Umformung | −2w: Sie vergleicht nur noch die Differenz der beiden Sparraten.

A29

Begründung: Warum darf man das überhaupt?

AFB III

Bei 7x + 3 = 4x + 18 subtrahiert man auf beiden Seiten 4x. Jonas fragt: „Wie kann man 4x wegnehmen, wenn man doch gar nicht weiß, wie groß x ist?“

Erkläre ihm mit dem Waagemodell, warum dieser Schritt erlaubt ist — und warum die Lösung dabei unverändert bleibt.

Antwort (erst nach eigenem Versuch öffnen!)

„Stell dir eine Waage im Gleichgewicht vor: links 7 Kisten der unbekannten Masse x und 3 Gewichte, rechts 4 solche Kisten und 18 Gewichte. Du musst nicht wissen, wie schwer eine Kiste ist — es reicht, dass alle Kisten gleich schwer sind. Nimmst du auf beiden Seiten 4 Kisten herunter, verschwindet auf beiden Seiten dieselbe Masse, und die Waage bleibt im Gleichgewicht. Übrig bleibt 3x + 3 = 18, also 3x = 15 und x = 5. Probe: 7·5 + 3 = 38 und 4·5 + 18 = 38.“

Und warum wäre einseitiges Streichen falsch?

Nimmst du nur links 4 Kisten weg, kippt die Waage — die neue Gleichung 3x + 3 = 4x + 18 beschreibt eine ganz andere Situation und hat auch eine andere Lösung (x = −15). Umformungen, die die Lösung erhalten, heißen Äquivalenzumformungen; sie müssen immer auf beiden Seiten gleichzeitig ausgeführt werden.

A30

Trickaufgabe — versteckte Spezialfälle

Mix

Diese drei Gleichungen sehen völlig normal aus. Löse sie der Reihe nach — aber pass auf: Bei zwei von ihnen passiert etwas Ungewöhnliches.

A) 3·(2x + 4) = 6x + 12

B) 5·(x + 2) = 5x + 7

C) 4·(x + 3) = 3x + 15

Was passiert bei A und B?

A) Klammer auflösen: 6x + 12 = 6x + 12. | −6x → 12 = 12. Das ist immer wahr, egal welche Zahl du für x einsetzt — die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.

B) Klammer auflösen: 5x + 10 = 5x + 7. | −5x → 10 = 7. Das ist nie wahr — die Gleichung hat keine Lösung.

Der Trick: Erst nach dem Ausmultiplizieren sieht man, dass links und rechts dieselbe Anzahl x steht. Solange die Klammer noch dasteht, sieht die Aufgabe wie jede andere aus.

Und C?

C) 4x + 12 = 3x + 15 | −3x → x + 12 = 15 | −12 → x = 3. Hier bleiben nach dem Sammeln unterschiedlich viele x übrig (4x gegen 3x), deshalb gibt es genau eine Lösung. Probe: 4·(3 + 3) = 24 und 3·3 + 15 = 24. ✓

Diese Aufgabe ist absichtlich knifflig: Sie trainiert, dass „x fällt weg“ kein Rechenfehler ist, sondern selbst schon die Antwort — je nachdem, ob eine wahre oder eine falsche Aussage übrig bleibt.

Übungen: Variablen auf beiden Seiten

Übungsaufgaben