Zwei Angebote für den Schulplaner
AFB IIDie Schule lässt Schulplaner drucken. Zwei Druckereien haben ein Angebot abgegeben (Material M1): Druckerei Kranz berechnet eine einmalige Einrichtungsgebühr und dafür einen niedrigen Stückpreis, Druckerei Beckmann verzichtet auf die Gebühr, verlangt aber mehr je Planer. Bestellt werden \(x\) Planer.
| Druckerei | Einrichtung | Preis je Planer |
|---|---|---|
| Kranz | 45,00 € | 2,80 € |
| Beckmann | — | 3,40 € |
Beide Angebote gelten für dieselbe Ausstattung und dieselbe Lieferzeit.
- Stelle für beide Druckereien einen Kostenterm auf und stelle die Gleichung auf, die zu gleichen Kosten führt.
- Löse die Gleichung und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
- Die Schule bestellt 120 Planer. Berechne beide Preise und entscheide, welches Angebot günstiger ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Kranz: \(K_1 = 2{,}80x + 45\). Beckmann: \(K_2 = 3{,}40x\).
Gleiche Kosten bedeutet
\(2{,}80x + 45 = 3{,}40x\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(2{,}8x + 45 = 3{,}4x \;\;|\; -2{,}8x\)
\(45 = 0{,}6x \;\;|\; :0{,}6\)
\(x = 75\)
Bei genau 75 Planern kosten beide Druckereien dasselbe, nämlich \(3{,}4\cdot 75 = 255\) €. Für kleinere Stückzahlen ist Beckmann günstiger, für größere Kranz — denn Kranz spart je Planer 0,60 €, muss aber zuerst die 45 € Einrichtung hereinholen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Kranz: \(2{,}8\cdot 120 + 45 = 336 + 45 = 381\) €.
Beckmann: \(3{,}4\cdot 120 = 408\) €.
Bei 120 Planern ist Kranz um 27 € günstiger. Das passt zu b): Die Bestellung liegt über der Grenze von 75 Stück, und für jeden Planer darüber wächst der Vorsprung um 0,60 € — bei 45 zusätzlichen Planern also um \(45\cdot 0{,}60 = 27\) €.
Der Sparwettstreit zweier Klassen
AFB IIIZwei Klassen sparen auf ihre Abschlussfahrt. Die 8a hat bereits 120 € in der Kasse und legt jede Woche 15 € dazu; die 8b hat 210 € und legt wöchentlich 9 € dazu (Material M2). In der Pause behauptet jemand aus der 8a: „Wir haben die 8b schon nach zehn Wochen überholt.“
| Klasse | Startguthaben | Zuwachs je Woche |
|---|---|---|
| 8a | 120,00 € | 15,00 € |
| 8b | 210,00 € | 9,00 € |
Beide Klassen zahlen regelmäßig ein; \(w\) bezeichnet die Anzahl der Wochen.
- Stelle für beide Klassen einen Term für den Kassenstand nach \(w\) Wochen auf und bestimme, nach wie vielen Wochen beide Kassen gleich voll sind.
- Berechne den Kassenstand zu diesem Zeitpunkt.
- Beurteile die Behauptung aus der 8a.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
8a: \(K_a = 120 + 15w\). 8b: \(K_b = 210 + 9w\).
\(120 + 15w = 210 + 9w \;\;|\; -9w\)
\(120 + 6w = 210 \;\;|\; -120\)
\(6w = 90 \;\;|\; :6\)
\(w = 15\)
Nach 15 Wochen sind beide Kassen gleich voll.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
8a: \(120 + 15\cdot 15 = 120 + 225 = 345\) €.
8b: \(210 + 9\cdot 15 = 210 + 135 = 345\) €.
Beide Klassen haben dann 345 € — das bestätigt zugleich die Lösung aus a).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Behauptung ist falsch. Nach zehn Wochen hat die 8a \(120 + 150 = 270\) €, die 8b dagegen \(210 + 90 = 300\) €. Die 8b liegt also noch mit 30 € vorn.
Der Grund: Der Rückstand der 8a beträgt anfangs 90 €, und sie holt je Woche nur die Differenz der Sparraten auf, also \(15 - 9 = 6\) € — dafür braucht sie \(90 : 6 = 15\) Wochen. Erst ab der 16. Woche liegt die 8a wirklich vorn.
Man sollte den Vergleich also nicht an der höheren Sparrate allein festmachen: Entscheidend ist, wie lange der Vorsprung des anderen bei dieser Differenz vorhält.