1
Distributivgesetz nur halb angewandt
So wird es oft gemacht
3·(x + 4) = 3x + 4
Die Zahl vor der Klammer wurde nur an das erste Glied multipliziert.
✓ Richtig wäre
3·(x + 4) = 3x + 12
Die 3 muss jedes Glied in der Klammer treffen.
Warum: Beim Ausmultiplizieren verteilt sich der Faktor auf alle Summanden der Klammer (a·(b+c) = a·b + a·c). Ein halb angewandtes Distributivgesetz produziert grundsätzlich falsche Terme.
Merksatz: „Jeder in der Klammer kriegt seinen Schluck“ — der Faktor besucht jedes Glied.
2
Minus vor Klammer: Vorzeichen vergessen
So wird es oft gemacht
7 − (x + 2) = 7 − x + 2
Das Minus wurde nur auf das erste Glied umgesetzt.
✓ Richtig wäre
7 − (x + 2) = 7 − x − 2 = 5 − x
Alle Vorzeichen in der Klammer drehen sich um.
Warum: Ein Minus vor der Klammer wirkt wie der Faktor (−1) und muss daher mit jedem Glied multipliziert werden. Aus „+2“ wird dadurch „−2“.
Merksatz: „Minus vor Klammer = jedes Vorzeichen kippt“ — wie ein Schalter, der alle Lampen umlegt.
3
Reihenfolge bei 2·(x+3)·(x−1) verwirrt
So wird es oft gemacht
2·(x+3)(x−1) = (2x+6)·(2x−2)
Die 2 wurde fälschlich in beide Klammern reingezogen.
✓ Richtig wäre
2·(x+3)(x−1) = 2·(x²+2x−3)
= 2x² + 4x − 6
Erst eine Klammer mit der 2 verbinden, dann beide ausmultiplizieren.
Warum: Bei einem Produkt aus mehreren Faktoren gehört der Vorfaktor zu einer Klammer dazu — nicht zu jeder. Sonst verdoppelt sich der Wert!
Merksatz: „Eine Zahl, eine Klammer“ — Vorfaktor klebt sich an genau eine Klammer.
4
Ausklammern: ggT nicht voll ausgeschöpft
So wird es oft gemacht
12x + 18 = 2·(6x + 9)
Nur 2 ausgeklammert — aber 3 wäre auch noch drin.
✓ Richtig wäre
12x + 18 = 6·(2x + 3)
ggT(12, 18) = 6 — vollständig ausklammern.
Warum: Ausklammern soll die kompaktest mögliche Form liefern. Klammere immer den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Koeffizienten aus. Bei 12 und 18 ist das die 6.
Merksatz: „Bis nichts mehr in der Klammer kürzbar ist.“ Wenn 2x und 3 keinen gemeinsamen Faktor mehr haben, bist du fertig.
So wird es oft gemacht
x · x = 2x
Verwechselt mit x + x = 2x.
✓ Richtig wäre
x · x = x²
Beim Multiplizieren werden die Hochzahlen addiert: x¹ · x¹ = x².
Warum: Addieren gleicher Variablen erhöht den Koeffizienten (x+x=2x). Multiplizieren gleicher Variablen erhöht die Hochzahl (x·x=x²). Beides klingt ähnlich, ist aber völlig unterschiedlich.
Merksatz: „Plus zählt die Variablen, Mal stapelt sie hoch.“
6
Glieder mit unterschiedlicher Potenz zusammengefasst
So wird es oft gemacht
4x + 3x² = 7x³
Koeffizienten addiert und Hochzahlen aufaddiert.
✓ Richtig wäre
4x + 3x² bleibt so
x und x² sind nicht gleichartig — kein Zusammenfassen möglich.
Warum: Nur Glieder mit gleicher Variable und gleicher Hochzahl dürfen zusammengefasst werden. x und x² sind so verschieden wie Äpfel und Birnen — addieren geht nicht.
Merksatz: „Äpfel zu Äpfeln, x² zu x².“ Verschiedene Potenzen bleiben getrennte Glieder.
7
3x = 21 → x = 18 (subtrahiert statt dividiert)
So wird es oft gemacht
3x = 21 |−3
x = 18
Die 3 wurde abgezogen statt durch sie zu teilen.
✓ Richtig wäre
3x = 21 |÷3
x = 7
Bei „Zahl mal Variable“ muss man durch die Zahl dividieren.
Warum: 3x bedeutet 3 mal x. Die Gegenoperation von „mal 3“ ist „geteilt durch 3“ — nicht „minus 3“. Mit Probe siehst du es sofort: 3·18 = 54 ≠ 21.
Merksatz: „Mal weg = geteilt, Plus weg = minus.“ Die Operation, die du loswerden willst, bestimmt die Gegenoperation.
So wird es oft gemacht
2·(x+3) = 16 |÷2
x+3 = 16 → x = 13
Die rechte Seite blieb unverändert.
✓ Richtig wäre
2·(x+3) = 16 |÷2
x+3 = 8 → x = 5
Beide Seiten der Gleichung müssen geteilt werden.
Warum: Eine Gleichung ist wie eine Waage. Was du auf einer Seite tust, musst du genauso auf der anderen Seite tun — sonst ist die Waage nicht mehr im Gleichgewicht.
Merksatz: „Beide Seiten oder gar nicht.“ Äquivalenzumformung gilt immer für links UND rechts.
9
L = { } heißt „Gleichung falsch“?
So wird es oft gemacht
2x+3 = 2x+7 → 3 = 7 ✗
„Gleichung ist falsch, ich habe wohl was vertan."
Schüler glauben, sie hätten einen Fehler gemacht.
✓ Richtig wäre
3 = 7 ist eine falsche Aussage.
→ L = { } (leere Lösungsmenge)
Die Gleichung hat keine Lösung — das ist ein gültiges Ergebnis.
Warum: Wenn beim Umformen eine offensichtlich falsche Aussage entsteht (z.B. 3 = 7), bedeutet das: kein x-Wert kann die Gleichung erfüllen. Die Lösungsmenge ist leer — geschrieben L = { } oder L = ∅.
Merksatz: „Falsche Aussage → L = { }. Wahre Aussage (z.B. 5=5) → L = ℝ.“ Beides sind echte Ergebnisse, keine Fehler.
10
Textaufgabe: Antwortsatz vergessen
So wird es oft gemacht
x + (x+5) = 23
2x + 5 = 23 → x = 9
→ Fertig.
Nur die Gleichung gelöst, kein Bezug zur Aufgabe.
✓ Richtig wäre
… → x = 9
Antwort: Die erste Zahl ist 9, die zweite ist 14.
Mit vollständigem Antwortsatz in Worten.
Warum: Bei Sachaufgaben fragt die Aufgabe nach einer Antwort in der Realsituation — nicht nach einem nackten x-Wert. Ohne Antwortsatz bekommst du oft nur Teilpunkte, selbst wenn die Rechnung perfekt ist.
Merksatz: „Frage → Rechnung → Antwort.“ Jede Textaufgabe braucht alle drei Teile.
11
(x+2)·(x+3) = x² + 6 (Mischterme vergessen)
So wird es oft gemacht
(x+2)(x+3) = x² + 6
Nur das erste und letzte Produkt — die mittleren Glieder fehlen.
✓ Richtig wäre
(x+2)(x+3) = x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6
Jedes Glied der ersten Klammer mit jedem der zweiten multiplizieren.
Warum: Beim Produkt zweier Summen muss jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen multipliziert werden — bei (a+b)(c+d) sind das 4 Produkte. Die „Mischterme“ (hier 3x und 2x) werden oft übersehen.
Merksatz: „Jeder mit jedem“ — bei zwei Klammern entstehen 2·2 = 4 Einzelprodukte.
12
Reihenfolge bei (3x+2) + 5·(x−1) verwirrt
So wird es oft gemacht
(3x+2) + 5·(x−1)
= 5·(3x+2 + x−1) = …
Die 5 wurde fälschlich auf beide Klammern verteilt.
✓ Richtig wäre
(3x+2) + 5·(x−1)
= 3x+2 + 5x−5
= 8x − 3
Erst nur die zweite Klammer ausmultiplizieren, dann alles zusammenfassen.
Warum: Die 5 gehört nur zur zweiten Klammer (Punkt vor Strich). Die erste Klammer hat keinen Faktor davor — sie wird nur „aufgelöst“ (Vorzeichen prüfen). Erst danach werden gleichartige Glieder zusammengefasst.
Merksatz: „Punkt vor Strich“ gilt auch bei Klammern: Erst jede Klammer einzeln auflösen, dann addieren/subtrahieren.
