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TextaufgabenVorzeichen und Rechenregeln

Zwei Sachaufgaben zu negativen Zahlen und zur Rechenreihenfolge — Kühltechnik in der Mensa und die Klassenkasse der 8b.

1

Kältetechnik in der Schulmensa

AFB II

In der Schulmensa arbeiten ein Kühlraum und eine Tiefkühltruhe. Material M1 zeigt die Solltemperaturen und die gemessene Außentemperatur an einem heißen Julitag. Beim Beladen bleibt der Deckel der Tiefkühltruhe eine Weile offen; die Temperatur im Inneren steigt dann um 1,5 °C je Minute. Nach dem Schließen sinkt sie wieder um 0,8 °C je Minute.

M1Temperaturen in der Mensa
OrtTemperatur
Tiefkühltruhe (Soll)−18 °C
Kühlraum (Soll)4 °C
Außenluft am Messtag27 °C

Das Steigen und Sinken der Temperatur verläuft in guter Näherung gleichmäßig.

  1. Berechne den Temperaturunterschied zwischen der Tiefkühltruhe und der Außenluft sowie zwischen der Tiefkühltruhe und dem Kühlraum.
  2. Stelle einen Term für die Temperatur in der Truhe auf, wenn der Deckel \(t\) Minuten offen steht, und berechne die Temperatur nach 6 Minuten.
  3. Der Deckel war 6 Minuten offen und wird dann geschlossen. Ermittle, nach wie vielen Minuten die Truhe wieder −18 °C erreicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Ein Temperaturunterschied ist die Differenz der beiden Werte. Achte darauf, was passiert, wenn du eine negative Zahl subtrahierst.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Außenluft und Truhe: \(27 - (-18) = 27 + 18 = 45\).

Der Unterschied beträgt 45 °C (also 45 Kelvin).

Kühlraum und Truhe: \(4 - (-18) = 4 + 18 = 22\), also 22 °C Unterschied.

Das Minuszeichen vor der Klammer und das negative Vorzeichen der Zahl heben sich auf: Aus dem Subtrahieren einer negativen Zahl wird ein Addieren.

Hinweis zu Aufgabe b)
Der Startwert ist die Solltemperatur. Für jede Minute kommen 1,5 °C dazu — das ist ein Produkt aus 1,5 und der Anzahl der Minuten.Ein Pluszeichen vor dem Produkt bedeutet: Der Wert wächst, obwohl der Startwert negativ ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(T = -18 + 1{,}5\cdot t\) (Temperatur in °C, \(t\) in Minuten)

Für \(t = 6\): \(T = -18 + 1{,}5\cdot 6 = -18 + 9 = -9\).

Nach 6 Minuten sind es −9 °C. Punktrechnung geht vor Strichrechnung: Erst wird \(1{,}5\cdot 6\) berechnet, dann addiert.

Hinweis zu Aufgabe c)
Bestimme zuerst die Temperatur beim Schließen aus b). Von dort geht es um 0,8 °C je Minute abwärts. Überlege, wie groß der gesamte Rückgang sein muss.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Beim Schließen herrschen −9 °C. Bis −18 °C müssen \(-9 - (-18) = 9\) Grad abgebaut werden.

Mit 0,8 °C je Minute gilt \(0{,}8\cdot m = 9\), also \(m = 9 : 0{,}8 = 11{,}25\).

Nach 11,25 Minuten — also nach 11 Minuten und 15 Sekunden — ist die Solltemperatur wieder erreicht. Das Abkühlen dauert fast doppelt so lange wie das Erwärmen, weil 0,8 kleiner ist als 1,5.

2

Die Klassenkasse der 8b

AFB II

Die Klasse 8b plant eine Fahrt zum Science Center. Material M2 zeigt den Stand der Klassenkasse und die geplanten Beträge. Auf dem Klassenzettel steht die Rechnung als eine einzige Zeile: 42 + 25 · 3,50 − 179,50.

M2Die Klassenkasse
PostenBetrag
Guthaben vor der Planung42,00 €
Beitrag je Schülerin/Schüler (25 Kinder)3,50 €
Reisebus für den Tag179,50 €

Alle 25 Kinder zahlen ihren Beitrag; weitere Ausgaben gibt es zunächst nicht.

  1. Berechne den Kontostand nach der Buszahlung und deute das Vorzeichen deines Ergebnisses.
  2. Tim rechnet die Zeile streng von links nach rechts und erhält 55,00 €. Erkläre, welchen Rechenschritt er falsch ausführt, und gib an, mit welcher Klammer sein Rechenweg zu seinem Ergebnis passen würde.
  3. Damit die Kasse nach der Fahrt genau bei 0 € steht, soll jedes Kind denselben Zusatzbetrag \(z\) nachzahlen. Stelle eine Gleichung auf und bestimme \(z\).
Hinweis zu Aufgabe a)
Punktrechnung geht vor Strichrechnung: Der Beitrag von 25 Kindern ist zuerst als Produkt auszurechnen. Ein Kontostand kann auch unter null liegen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(42 + 25\cdot 3{,}50 - 179{,}50 = 42 + 87{,}50 - 179{,}50 = 129{,}50 - 179{,}50 = -50\)

Der Kontostand beträgt −50,00 €. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Kasse nicht ausreicht: Es fehlen 50 €.

Hinweis zu Aufgabe b)
Schau dir an, welche beiden Zahlen Tim zuerst verrechnet. Eine Klammer verändert genau diese Reihenfolge.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Tim addiert zuerst \(42 + 25 = 67\) und multipliziert erst danach mit 3,50. Damit verletzt er die Regel „Punktrechnung vor Strichrechnung“ — der Faktor 3,50 gehört nur zur Zahl 25, nicht zur Summe.

Sein Weg ergibt \((42+25)\cdot 3{,}50 - 179{,}50 = 67\cdot 3{,}50 - 179{,}50 = 234{,}50 - 179{,}50 = 55\).

Sein Ergebnis passt also zum Term \((42+25)\cdot 3{,}50 - 179{,}50\); die Klammer um \(42+25\) steht auf dem Zettel aber nicht.

Hinweis zu Aufgabe c)
Statt 3,50 € zahlt jedes Kind nun \(3{,}50 + z\). Setze diesen Ausdruck an die Stelle des alten Beitrags und fordere, dass am Ende 0 herauskommt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(42 + 25\cdot(3{,}50 + z) - 179{,}50 = 0\)

\(42 + 87{,}50 + 25z - 179{,}50 = 0\)

\(25z - 50 = 0 \;\;|\; +50\)

\(25z = 50 \;\;|\; :25\)

\(z = 2\)

Jedes Kind muss 2,00 € nachzahlen; der Beitrag steigt damit auf 5,50 €. Probe: \(42 + 25\cdot 5{,}50 - 179{,}50 = 42 + 137{,}50 - 179{,}50 = 0\).