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TextaufgabenEinfache Gleichungen lösen

Zwei Sachaufgaben zum Aufstellen und Lösen von Gleichungen — der Taschenrechner-Sammelbestellung und der Tombola beim Schulfest.

1

Die Sammelbestellung der Taschenrechner

AFB I

Der Förderverein bestellt für die neuen achten Klassen einen Satz grafikfähiger Taschenrechner. Jedes Gerät kostet 89 €, für die Lieferung berechnet der Händler einmalig 24 € (Material M1). Auf der Rechnung steht am Ende ein Gesamtbetrag von 1092 €; die Stückzahl ist auf dem Ausdruck leider unleserlich.

M1Die Rechnung des Händlers
PostenBetrag
Taschenrechner, Stückpreis89,00 €
Lieferung (einmalig)24,00 €
Rechnungsbetrag1092,00 €

Die Lieferpauschale fällt einmal an, unabhängig von der Stückzahl.

  1. Stelle eine Gleichung für die gesuchte Stückzahl \(x\) auf.
  2. Löse die Gleichung Schritt für Schritt und notiere zu jeder Zeile die verwendete Umformung.
  3. Im nächsten Jahr beträgt der Rechnungsbetrag bei gleichen Preisen 1448 €. Bestimme die Stückzahl und überprüfe sie durch eine Probe.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Preis für alle Geräte ist ein Produkt aus Stückpreis und Stückzahl. Die Lieferpauschale kommt genau einmal dazu und ergibt zusammen den Rechnungsbetrag.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Für \(x\) Geräte kostet die Ware \(89\cdot x\); dazu kommen 24 € Lieferung:

\(89x + 24 = 1092\)

Hinweis zu Aufgabe b)
Bringe zuerst die Zahl ohne Variable auf die andere Seite und teile danach durch den Faktor vor \(x\). Schreibe die Umformung mit senkrechtem Strich hinter die Zeile, zum Beispiel \(|\;-24\).Jede Umformung muss auf beiden Seiten ausgeführt werden — sonst stimmt die Gleichung nicht mehr.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(89x + 24 = 1092 \;\;|\; -24\)

\(89x = 1068 \;\;|\; :89\)

\(x = 12\)

Der Förderverein hat 12 Taschenrechner bestellt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Der Rechenweg ist derselbe wie in b), nur die rechte Seite ändert sich. Bei der Probe setzt du deine Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(89x + 24 = 1448 \;\;|\; -24\)

\(89x = 1424 \;\;|\; :89\)

\(x = 16\)

Probe: \(89\cdot 16 + 24 = 1424 + 24 = 1448\) — der Rechnungsbetrag stimmt. Es wurden 16 Geräte bestellt, also vier mehr als im Vorjahr.

2

Die Tombola beim Schulfest

AFB II

Beim Schulfest verkauft die Klasse 8b Lose für je 2,00 €. Genau jedes dritte Los ist ein Gewinn; für jeden Gewinn kauft die Klasse einen Preis für 4,50 € ein (Material M2). Im letzten Jahr nahm die Klasse mit den Losen 486 € ein.

M2Die Regeln der Tombola
GrößeWert
Preis je Los2,00 €
Anteil der Gewinnloseein Drittel
Einkaufspreis je Gewinn4,50 €

Die Zahl der verkauften Lose ist stets durch 3 teilbar, damit die Regel genau aufgeht.

  1. Bestimme aus den Einnahmen die Anzahl der verkauften Lose und die Anzahl der Gewinne.
  2. Berechne, wie viel Geld der Klasse nach dem Einkauf der Preise übrig bleibt.
  3. In diesem Jahr sollen bei gleichen Regeln genau 200 € übrig bleiben. Stelle eine Gleichung für die Anzahl \(x\) der Lose auf und löse sie.
Hinweis zu Aufgabe a)
Jedes Los bringt 2,00 €. Aus den Einnahmen erhältst du die Losanzahl durch eine Division; ein Drittel davon sind Gewinne.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(2x = 486 \;\;|\; :2\), also \(x = 243\).

Es wurden 243 Lose verkauft. Ein Drittel davon sind Gewinne: \(243 : 3 = 81\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Von den Einnahmen gehen die Kosten für alle Preise ab. Die Zahl der Preise hast du in a) bereits bestimmt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die 81 Preise kosten \(81 \cdot 4{,}50 = 364{,}50\) €.

\(486 - 364{,}50 = 121{,}50\)

Der Klasse bleiben 121,50 € übrig.

Hinweis zu Aufgabe c)
Die Einnahmen betragen \(2x\), die Zahl der Gewinne \(\tfrac{x}{3}\). Multipliziere diese Zahl mit dem Einkaufspreis und ziehe sie ab. Fasse vor dem Umformen zusammen — der Term wird dabei überraschend einfach.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Übrig bleibt: Einnahmen minus Kosten der Preise.

\(2x - \tfrac{x}{3}\cdot 4{,}5 = 200\)

\(2x - 1{,}5x = 200\)

\(0{,}5x = 200 \;\;|\; :0{,}5\)

\(x = 400\)

Es müssen 400 Lose verkauft werden. Probe: \(400\cdot 2 = 800\) € Einnahmen, \(400:3\) ist allerdings keine ganze Zahl — bei 399 Losen (133 Gewinne) bleiben \(798 - 598{,}50 = 199{,}50\) €, bei 402 Losen (134 Gewinne) \(804 - 603 = 201\) €. Praktisch muss die Klasse also 402 Lose drucken, um die 200 € sicher zu erreichen.

Bemerkenswert ist der einfache Zusammenhang: Von jedem eingenommenen Euro bleibt genau die Hälfte übrig, denn \(2x - 1{,}5x = 0{,}5x\).