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Das Waagemodell
Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen — wie eine Waage im Gleichgewicht.
- Gleichung:zwei Terme mit Gleichheitszeichen, z. B. \(x + 3 = 10\).
- Lösung:die Zahl für \(x\), bei der beide Seiten gleich viel wert sind.
- Gleichgewicht:was du links tust, musst du auch rechts tun — sonst kippt die Waage.
Merke
Gleichung: beide Seiten sind gleich viel wert — jede Änderung geschieht auf beiden Seiten.
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Umformen und prüfen
Mit Äquivalenzumformungen bringst du \(x\) allein auf eine Seite.
- Äquivalenzumformung:dieselbe Rechnung auf beiden Seiten; die Lösung bleibt gleich.
- Schreibweise:hinter einem senkrechten Strich steht, was gerechnet wird, z. B. \(\;| - 3\).
- Reihenfolge:erst Plus und Minus rückgängig machen, dann Mal und Geteilt.
- Probe:Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen — beide Seiten müssen gleich sein.
Merke
Lösen: Umformen, bis \(x = \ldots\) dasteht — dann die Probe.
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Allgemeine Hinweise
Immer beide Seiten
Eine Umformung nur auf einer Seite zerstört das Gleichgewicht. Die „Lösung“ ist dann falsch.
Erst Strich, dann Punkt
Bei \(3x + 2 = 14\) zuerst \(| - 2\), dann \(| : 3\). Wer zuerst teilt, bekommt unnötige Brüche.
Probe lohnt sich
Setze die Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Stimmen beide Seiten, hast du richtig gerechnet.