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Übungen: Produkt von Summen

(a+b)·(c+d) — jeder mit jedem. Vier Produkte, eine saubere Reihenfolge — und das «Fischen» wird zur Routine.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps. Schreibe Ergebnisse immer vollständig zusammengefasst und nach Potenzen sortiert (z. B. „x²+7x+12“).

A1
Regel-Check
AFB I

Welche Aussagen über das Ausmultiplizieren von (a + b) · (c + d) stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die beiden letzten Fehler hängen zusammen: Wer nur a·c + b·d bildet, lässt die zwei gemischten Teilprodukte weg. Bei (x + 3)·(x + 4) fehlen so 4x und 3x — richtig ist x² + 7x + 12. Probe mit x = 1: 4 · 5 = 20, aber 1 + 12 = 13.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen rund um Klammer mal Klammer.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die zwei falschen Aussagen sind die beiden Dauerbrenner: das Quadrat einer Summe als Summe der Quadrate lesen und die Vorzeichenregel „Minus mal Minus“ übersehen.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim Produkt von Summen wird jedes Glied der ersten Klammer mit Glied der zweiten Klammer multipliziert. So entstehen genau . Zum Schluss werden die Glieder noch .

„zwei“ bleibt übrig — und genau das ist der typische Fehler: Wer nur zwei Produkte bildet (vorne mal vorne, hinten mal hinten), verliert die beiden gemischten Glieder in der Mitte.
A4
Welche Methode passt?
AFB I

Sortiere jeden Term in den passenden Korb — schau nur hin, rechnen musst du noch nicht.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1ein Faktor vor einer Klammer — 2 Teilprodukte
2zwei Klammern nebeneinander — 4 Teilprodukte
3schon ausmultipliziert
x · (x + 4) sieht nach zwei Klammern aus, ist aber nur ein Faktor vor einer Klammer — zwei Teilprodukte. Der typische Fehler ist, sich von der Variablen davor täuschen zu lassen und vier Produkte zu suchen.
A5
Rechenweg in Ordnung bringen
AFB I

In welcher Reihenfolge multiplizierst du (a + b) · (c + d) aus?

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1 Beide Klammern anschauen: Wie viele Glieder stehen in jeder?
2 Das erste Glied der linken Klammer mit beiden Gliedern der rechten multiplizieren.
3 Das zweite Glied der linken Klammer ebenfalls mit beiden Gliedern der rechten multiplizieren.
4 Alle vier Teilprodukte mit ihren Vorzeichen hintereinander aufschreiben.
5 Gleichartige Glieder zusammenfassen und nach Potenzen sortieren.
Der häufigste Fehler ist, Schritt 4 zu überspringen und sofort zusammenzufassen. Wer die vier Teilprodukte erst vollständig hinschreibt, verliert kein Glied und keinen Vorzeichenwechsel.
A6
Rechenkette vorwärts
AFB II

Multipliziere (x + 4) · (x + 5) aus — Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wie viele Teilprodukte entstehen bei (x + 4) · (x + 5)? Stück
  2. Die beiden gemischten Teilprodukte sind 5x und 4x. Wie viele x sind das zusammen? x
  3. Wie groß ist das letzte Teilprodukt 4 · 5? ohne x
  4. Probe: Setze x = 2 in dein Ergebnis x² + 9x + 20 ein. Wert
Die Probe liefert 42 — genauso wie (2 + 4) · (2 + 5) = 6 · 7 = 42. Wer im zweiten Schritt 20 statt 9 einträgt, hat die beiden gemischten Glieder multipliziert statt addiert: 5x und 4x sind gleichartig und werden zu 9x addiert.
A7
Blitzrechnung
AFB I

Multipliziere (x + 7) · (x + 3) aus. Welche Zahl steht am Ende ohne x?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Das Glied ohne x entsteht aus 7 · 3 = 21, der ganze Term lautet x² + 10x + 21. Wer 10 einträgt, hat 7 + 3 gerechnet — die Summe der beiden Zahlen landet aber vor dem x, ihr Produkt ganz hinten.
A8
Schätz-Regler: Konzertsaal
AFB II

Ein Saal hat (18 + 6) Sitzreihen, und in jeder Reihe stehen (12 + 4) Stühle. Schätze die Gesamtzahl der Plätze — erst schieben, dann rechnen!

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 Plätze800 Plätze
24 · 16 = 384. Ausmultipliziert: 18·12 + 18·4 + 6·12 + 6·4 = 216 + 72 + 72 + 24 = 384. Wer nur 18·12 + 6·4 = 240 schätzt, lässt die beiden gemischten Produkte weg — mit Zahlen fällt dieser Fehler sofort auf, mit Buchstaben leider nicht.
A9
Begriffs-Memory
AFB I

Finde die sechs Paare aus Produkt und ausmultipliziertem Term.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Vergleiche die vier Terme: Alle enden auf 6, aber die Mitte unterscheidet sie. Nur x²-Glieder mit x²-Gliedern und x-Glieder mit x-Gliedern sind gleichartig — x² und 5x darf man nie zusammenfassen.
A10
Kreuztabelle: Welcher Term gehört wohin?
AFB II

Fünf Produkte, drei mögliche Ergebnisse. Kreuze für jede Zeile die richtige Spalte an.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Produktx² + 5x + 6x² − 5x + 6x² − x − 6
(x + 2) · (x + 3)
(x − 2) · (x − 3)
(x − 3) · (x + 2)
(x + 3) · (x + 2)
(3 − x) · (2 − x)
Zeile 1 und 4 liefern dasselbe — die Reihenfolge der Klammern ist egal. Zeile 5 ist die Falle: (3 − x) · (2 − x) sieht nach lauter Minus aus, aber (−x) · (−x) = +x², und die gemischten Glieder −3x − 2x ergeben −5x.
A11
Distributivgesetz oder Klammer mal Klammer — oder beides?
AFB II

Ordne jede Aussage dem richtigen Bereich zu.

Ordne jeden Begriff einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur Distributivgesetz
2 beide
3 nur Klammer mal Klammer
Die Mitte ist der Kern: „jedes mit jedem“, Vorzeichenregeln und Zusammenfassen gelten in beiden Fällen. Unterschiedlich ist nur die Anzahl der Teilprodukte — wer das verwechselt, rechnet bei zwei Klammern nur zwei Produkte aus.
A12
Produkt trifft Ergebnis
AFB II

Verbinde jedes Produkt mit seinem ausmultiplizierten Term — achte nur auf die Vorzeichen.

Klicke links ein Produkt an und dann rechts sein Ergebnis — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Alle fünf enden auf 8 — der Unterschied steckt allein in den Vorzeichen. Faustregel: Ist das letzte Glied positiv, hatten beide Zahlen dasselbe Vorzeichen; ist es negativ, waren die Vorzeichen verschieden. Wer das übersieht, verwechselt reihenweise +6x mit −6x.
A13
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Zeilen aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2 und Zeile 6 sind derselbe Fehlertyp: ein Teilprodukt wurde unterschlagen. Zähle nach dem Ausmultiplizieren immer nach, ob wirklich vier Produkte dastehen, bevor du zusammenfasst.
A14
Nils rechnet (x + 5) · (x − 2)
AFB II

Begleite Nils durch die Aufgabe — bei jedem Schritt entscheidest du, wie es weitergeht.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Der komplette Weg: vier Teilprodukte bilden → Vorzeichen mitnehmen → nur die gleichartigen Glieder zusammenfassen. Der häufigste Fehler steckt im letzten Schritt: x² und die Zahl am Ende sind nicht gleichartig und dürfen nicht verrechnet werden.
    A15
    Entscheidungsbaum: Welche Methode brauchst du?
    AFB II

    Situation: Vor dir steht der Term (y + 3) · (y + 7). Finde mit dem Baum heraus, welche Methode passt.

    Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
      Der Baum trennt genau die zwei Situationen, die in Klassenarbeiten verwechselt werden: ein Faktor vor der Klammer heißt zwei Teilprodukte, zwei Klammern nebeneinander heißen vier. Wer bei 3 · (x + 5) vier Produkte sucht, erfindet Glieder, die es nicht gibt.
      A16
      Wie viele Teilprodukte entstehen?
      AFB III

      Schätze für jede Zeile ein, wie viele Teilprodukte beim Ausmultiplizieren entstehen — ohne zu rechnen.

      Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = 2 Teilprodukte, 2 = 3, 3 = 4, 4 = 6, 5 = 9. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
      1 = 2 Teilprodukte5 = 9 Teilprodukte
      3 · (x + 5)
      2x · (a + b + c)
      (x + 2) · (x + 7)
      (a + b) · (c + d + e)
      (x + y + 1) · (x + y + 2)
      Die Anzahl ist immer Gliederzahl links · Gliederzahl rechts: 1·2 = 2, 1·3 = 3, 2·2 = 4, 2·3 = 6, 3·3 = 9. Der typische Fehler ist, überall stur „vier“ zu erwarten — bei (a + b) · (c + d + e) gehen so zwei Teilprodukte verloren.
      A17
      Musterlösung zusammenbauen
      AFB II

      Baue die vollständige Musterlösung für (x + 6) · (x − 2) — zwei Bausteine sind Fallen.

      Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
      Die beiden Fallen sind die häufigsten Fehler: 6 · (−2) ist −12, nicht +12 — und wer die gemischten Glieder streicht, landet bei x² − 12. Probe mit x = 1: (1 + 6) · (1 − 2) = −7, das falsche Ergebnis liefert 1 − 12 = −11.
      A18
      Rechenkette rückwärts
      AFB III

      Diesmal ist das Ergebnis bekannt: x² + 9x + 20 = (x + ?) · (x + ?). Finde die beiden Zahlen — Schritt für Schritt.

      Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
      1. Welchen Wert muss das Produkt der beiden gesuchten Zahlen haben? Produkt
      2. Welchen Wert muss ihre Summe haben? Summe
      3. Zwei Zahlen mit Produkt 20 und Summe 9 — nenne die kleinere. Zahl
      4. Probe: Wie groß ist (1 + 4) · (1 + 5)? Wert
      Rückwärts heißt: Die Zahl ganz hinten ist das Produkt, die Zahl vor dem x die Summe. Der typische Fehler ist, es zu vertauschen und 20 und 9 zu suchen statt 4 und 5. Die Probe bestätigt: x² + 9x + 20 ergibt für x = 1 ebenfalls 30.
      A19
      Vorfaktor vor x gesucht
      AFB II

      Multipliziere (3x + 2) · (2x + 5) aus. Welche Zahl steht am Ende vor dem einfachen x?

      Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
      3x · 5 = 15x und 2 · 2x = 4x, zusammen 19x; der ganze Term lautet 6x² + 19x + 10. Wer 15 oder 4 einträgt, hat nur eines der beiden gemischten Teilprodukte berücksichtigt — bei Koeffizienten vor dem x passiert das besonders leicht.
      A20
      Die x²-plus-5x-plus-6-Familie
      AFB III

      Welche dieser Produkte ergeben ausmultipliziert genau x² + 5x + 6? Es sind mehrere!

      Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
      Gesucht sind zwei Zahlen mit Produkt 6 und Summe 5. (x + 1) · (x + 6) hat zwar auch das Produkt 6, aber die Summe 7. Bei (x − 2) · (x − 3) stimmt das letzte Glied (+6), das mittlere ist jedoch −5x. Nur auf die hintere Zahl zu schauen, ist der klassische Trugschluss.
      A21
      Zwei Klammern — nur Plus
      AFB I

      Multipliziere aus und fasse zusammen.

      Vorgehen: Berechne die 4 Produkte einzeln: E, Ä, I, L. Dann gleichartige Glieder addieren.Warum hilft das? Weil du dann den Überblick behältst — kein Produkt geht verloren.
      Bei a): x·x + x·4 + 3·x + 3·4 = x² + 4x + 3x + 12. Jetzt 4x + 3x zusammenfassen.
      Lösungen: a) x² + 7x + 12 · b) a² + 7a + 10 · c) y² + 7y + 6
      A22
      Zwei Klammern — mit Minuszeichen
      AFB I

      Achte besonders auf die Vorzeichen.

      Vorzeichen-Regel: Plus mal Minus = Minus. Minus mal Minus = Plus.Bei b) ist „−1·−4“ = +4, nicht −4!
      Lösungen: a) x² − 2x + 3x − 6 = x² + x − 6 · b) y² − 4y − y + 4 = y² − 5y + 4 · c) a² − 6a + 6a − 36 = a² − 36 (die x-Glieder heben sich auf!)
      A23
      Koeffizient vor x
      AFB II

      Jetzt steht vor dem x eine Zahl (Koeffizient). Pass auf, wie sich das auf den x²-Term auswirkt.

      Erste · Erste: 2a · a = 2a². Den Koeffizienten 2 mitnehmen!Bei c): 5y · 2y = 5·2·y·y = 10y². Zahlen multiplizieren, Variablen multiplizieren.
      Lösungen: a) 2a² + 6a + a + 3 = 2a² + 7a + 3 · b) 3x² − 3x + 2x − 2 = 3x² − x − 2 · c) 10y² + 15y − 2y − 3 = 10y² + 13y − 3
      A24
      Zwei Variablen
      AFB II

      Hier kommen zwei verschiedene Variablen vor. Das Vorgehen bleibt aber genau gleich — vier Produkte!

      Bei a): x·x + x·(−y) + y·x + y·(−y) = x² − xy + xy − y². Die mittleren heben sich auf!Beachte: x·y = y·x = xy — die Reihenfolge ist egal.
      Lösungen: a) x² − y² · b) a² + 2ab + ab + 2b² = a² + 3ab + 2b²
      A25
      Distributivgesetz vs. Klammer mal Klammer
      Mix

      Achtung: Hier ist gemischt! Schau zuerst genau hin: Steht vor der Klammer eine Zahl (Distributivgesetz) oder eine zweite Klammer (vier Produkte)?

      Warum wechselt sich das hier ab?
      In der Klassenarbeit steht nicht „jetzt kommt Distributivgesetz“ oder „jetzt kommt Klammer mal Klammer“. Du musst entscheiden, welche Methode passt. Das Mischen trainiert genau das. Bei a) und c) hast du eine Klammer mit einem Faktor davor — Distributivgesetz, zwei Produkte. Bei b) und d) hast du zwei Klammern — vier Produkte!
      A26
      Rechteck-Begründung — warum genau 4 Produkte?
      AFB III

      Begründe mit Hilfe des Rechteck-Bildes, warum bei (a + b) · (c + d) immer genau 4 Produkte entstehen — nicht 2 und auch nicht 5.

      Antwort
      Das Rechteck hat Breite (a + b) und Höhe (c + d). Die senkrechte Linie teilt die Breite in 2 Streifen (a und b), die waagerechte Linie teilt die Höhe in 2 Streifen (c und d). 2 Streifen mal 2 Streifen ergibt 2 · 2 = 4 Teilrechtecke. Jede dieser 4 Flächen ist eines der 4 Produkte: a·c, a·d, b·c, b·d. Die Gesamtfläche ist die Summe — also genau 4 Produkte.
      a·c b·c a·d b·d a b c d 2 · 2 = 4 Teilflächen
      2 Streifen · 2 Streifen = 4
      A27
      Rückwärts denken — welche Klammern?
      AFB III

      Gegeben ist das Ergebnis. Finde die zwei Klammern, deren Produkt diesen Term ergibt.

      Strategie: Suche zwei Zahlen, deren Produkt die letzte Zahl ergibt (bei a): 12) und deren Summe die Zahl vor x ergibt (bei a): 7).Warum? Weil (x + p)·(x + q) = x² + (p+q)·x + p·q. Also p+q = Koeffizient von x, p·q = reine Zahl.
      a) 3 und 4 (denn 3·4 = 12 und 3+4 = 7). b) 3 und 5 (denn 3·5 = 15 und 3+5 = 8).
      A28
      Variable und Zahl gemischt — Transfer
      AFB II

      Multipliziere aus und fasse zusammen.

      Bei b) — was bedeutet das negative Vorzeichen vor x²?
      Bei der „Erste · Erste“-Multiplikation: 4·x ist nicht das x² — vorsicht! Hier ist 4 das erste Glied, x das zweite. „Erste · Erste“ heißt also 4·x = 4x. „Letzte · Letzte“ heißt (−x)·2 = −2x. Das x² entsteht aus (−x)·x = −x². Daher das Minus.
      A29
      Anwendung — Rasenstück erweitern
      AFB III

      Ein rechteckiges Rasenstück ist x m breit und x m lang (also quadratisch). Es wird auf einer Seite um 3 m verlängert und auf der anderen um 2 m verbreitert. Wie groß ist die neue Fläche als Term in x?

      m²
      Wie groß ist die Fläche, wenn x = 10 m?
      Mit Formel: 10² + 5·10 + 6 = 100 + 50 + 6 = 156 m². Direkt: (10 + 3)·(10 + 2) = 13·12 = 156 m². ✓
      x · x 3·x 2·x 3·2 x 3 x 2
      (x + 3)·(x + 2)
      A30
      Trickaufgabe — geht das überhaupt?
      Mix

      Von einem Produkt (x + p) · (x + q) weißt du nur zweierlei: p + q = 10 und p · q = 21. Die einzelnen Werte von p und q kennst du nicht. Kannst du den ausmultiplizierten Term trotzdem angeben?

      Was musst du erkennen, bevor du losrechnest?
      Ja, es geht — ganz ohne p und q einzeln zu kennen. Multipliziert man allgemein aus, entsteht (x + p) · (x + q) = x² + p·x + q·x + p·q = x² + (p + q)·x + p·q. Rechts brauchst du nur noch die Summe und das Produkt — und beides ist gegeben: x² + 10x + 21. (Wer neugierig ist: p und q sind 3 und 7 — probiere es aus.) Der typische Fehler ist, hier aufzugeben („mir fehlen p und q“), statt die vier Teilprodukte einmal allgemein hinzuschreiben und zu sehen, welche Angaben wirklich gebraucht werden.
      Und wenn p · q = 21, aber p + q = −10 wäre?
      Dann lautet der Term x² − 10x + 21. Nur das mittlere Glied wechselt das Vorzeichen, das letzte Glied bleibt +21 — denn zwei negative Zahlen (hier −3 und −7) haben ein positives Produkt. Genau daran erkennst du in solchen Aufgaben, ob beide Zahlen dasselbe Vorzeichen haben.

      Diese Aufgabe ist absichtlich knifflig: Sie trainiert, dass du prüfst, welche Angaben du wirklich brauchst, statt sofort nach den fehlenden zu suchen.